Kezdőlap


Feladat:	2017. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2018/március, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Csúszó súrlódás, Becslési feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/március: 2017. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A pénzérmére három erő hat: a két zsinórszárban ható erő, valamint a pénzérme és az asztal között fellépő csúszási súrlódási erő. A pénzérmét lassan mozgatjuk, a gyorsulások elhanyagolhatók, így a három erő eredője jó közelítéssel nulla. A zsinór nem súrlódik a pénzérmén, így benne mindenhol azonos nagyságú erő hat. Ebből következően a pénzérme mindig a zsinórszárak pillanatnyi szögfelezőjének irányába fog mozogni (hiszen a csúszási súrlódási erő mindig a sebességgel ellentétes irányú). Ennek a sebességvektornak mindkét zsinórszárra ugyanakkora a vetülete, így a két zsinórszár mindig azonos mértékben rövidül ‐ tehát a hosszaik különbsége a mozgás során nem fog változni.
$a)$ Ennek alapján:

\begin{matrix} \sqrt[]{2} d - d = x_{2} - x_{1} és x_{1} + x_{2} = d, \end{matrix}

ahol

x_{1}

és

x_{2}

a két zsinórdarab hossza, amikor a pénzérme eléri az asztal szélét.
Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk, hogy a pénzérme az asztal

B

sarkától

\begin{matrix} x_{1} = (1 - \frac{\sqrt[]{2}}{2}) d \approx 0, 293 m \end{matrix}

távolságra esik le az asztalról.

b)

A munkavégzés megegyezik a súrlódási munka abszolút értékével. Mivel a súrlódási erő állandó, így a munka a súrlódási erő és a pénzérme által befutott

s

út szorzata:

\begin{matrix} W = μ m g \cdot s . \end{matrix}

A két zsinórszár hosszának különbsége állandó, tehát a pénzérme egy hiperbolaíven fog mozogni. (A hiperbola fókuszai az asztal

B

és

C

sarkai.) A hiperbolaív hosszát elemi úton nem tudjuk meghatározni ‐ ezért is kért a feladat becslést ‐, de alsó és felső közelítést adhatunk rá.
Alsó becslés az asztal

A

sarkát és a leesés

L

pontját összekötő egyenes szakasz hossza (2. ábra):

\begin{matrix} s_{{min}_{}^{}} = \sqrt[]{d^{2} + x_{1}^{2}} \approx 1, 042 m, \end{matrix}

felső becslés pedig az

A

és

L

pontokon átmenő és a

B C

szakaszt merőlegesen metsző körvonal hossza. A kör sugara egyszerű geometriai megfontolások alapján:

\begin{matrix} R = \frac{d^{2} + x_{1}^{2}}{2 x_{1}} \approx 1, 854 m, \end{matrix}

amiből a keresett ívhossz:

\begin{matrix} s_{{max}_{}^{}} = R arcsin \frac{d}{R} \approx 1, 056 m . \end{matrix}

Láthatjuk, hogy a két érték elég közel van egymáshoz. (A hiperbolaív hosszát számítógéppel numerikusan is kiszámolhatjuk, akkor

s \approx 1, 048 m

-t kapunk.)

2. ábra

Ezek alapján, valamint a megadott adatokkal és

g = 9, 81 {m/s}^{2}

-tel a keresett munkavégzés:

\begin{matrix} 0, 0236 J < W < 0, 0239 J . \end{matrix}