A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy . A számnégyesben szereplő 1-esek száma szerint öt eset lehetséges. 1. eset: , , és közül mind a négy egyenlő 1-gyel. Ekkor , tehát kellene, hogy legyen, de ez nem teljesül. 2. eset: , , és közül három egyenlő 1-gyel. Ekkor a megoldás elején tett feltevésünk miatt . Ezt behelyettesítve ezt kapjuk: . Ekkor is fennáll. Mivel pozitív egész, ezért a következő lehetőségek vannak: , azaz , és ez megoldás is; , azaz , ez is megoldás; végül , azaz , ami szintén megoldás. Mivel a 4-nek csak ez a három pozitív egész osztója van, ezért itt nem lesz több megoldás. Ezentúl használni fogjuk a következő két összefüggést: ha , akkor (ez pozitív egészek esetén teljesül); illetve . 3. eset: , , és közül kettő egyenlő 1-gyel: . Ekkor . Ezt az esetet tovább bontjuk értéke szerint. Ha , akkor felírhatjuk ezt az összefüggést:
Itt a eseteket megvizsgálva azt kapjuk, hogy a és a ad megoldást. Ha , akkor ezt írhatjuk fel:
Mivel , ezért itt csak a eset lehetséges, ami megoldást is ad. Ha pedig , akkor ezt írhatjuk fel:
Mivel , ezért ez nem lehetséges. Tehát itt megtaláltuk az összes megoldást. 4. eset: , , és közül egy egyenlő 1-gyel: . Ekkor . Mivel , felírhatjuk a következő összefüggést:
Mivel , ezért itt csak a eset lehetséges, ami ad is egy megoldást esetén. 5. eset: , , és közül egyik sem . Mivel , ezért felírható az alábbi összefüggés:
Ennek pedig esetén nem lesz megoldása, tehát itt nincs megoldás. Összefoglalva, a következő megoldásokat kaptuk: , , , ; , , , ; , , , ; , , , ; , , , ; , , , ; , , , . Kálóczi Kristóf (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. Egy másik, többek által használt gondolatmenet: feltesszük, hogy , amiből . Ebből , azaz adódik. Innen (szintén esetszétválasztással) megkaphatóak a megoldások. 2. Több beküldőnél előfordult a következő hiba: az oszthatóság definíciója alapján felírták, hogy , amiből , továbbá a szimmetria miatt feltették, hogy , amiből az összefüggést kapták. Végül -val osztva az egyenlőtlenséghez jutottak. Ezt vizsgálva azonban nem az összes megoldást kapjuk meg. A hiba ott van a gondolatmenetben, hogy nem feltétlenül teljesül. 3. Honlapunkon egy harmadik megoldás olvasható.
|