Feladat: B.4903 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kálóczi Kristóf 
Füzet: 2018/március, 158 - 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Diofantikus egyenletek, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2017/november: B.4903

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a≤b≤c≤d. A számnégyesben szereplő 1-esek száma szerint öt eset lehetséges.
1. eset: a, b, c és d közül mind a négy egyenlő 1-gyel.
Ekkor abcd-1=0, tehát a+b+c+d=0 kellene, hogy legyen, de ez nem teljesül.
2. eset: a, b, c és d közül három egyenlő 1-gyel. Ekkor a megoldás elején tett feltevésünk miatt a=b=c=1. Ezt behelyettesítve ezt kapjuk: d-1∣d+3. Ekkor d-1∣d+3-(d-1)=4 is fennáll.
Mivel d pozitív egész, ezért a következő lehetőségek vannak: d-1=1, azaz d=2, és ez megoldás is; d-1=2, azaz d=3, ez is megoldás; végül d-1=4, azaz d=5, ami szintén megoldás. Mivel a 4-nek csak ez a három pozitív egész osztója van, ezért itt nem lesz több megoldás.
Ezentúl használni fogjuk a következő két összefüggést: ha abcd-1∣a+b+c+d, akkor abcd-1≤a+b+c+d (ez pozitív egészek esetén teljesül); illetve a+b+c+d≤4d.
3. eset: a, b, c és d közül kettő egyenlő 1-gyel: a=b=1. Ekkor cd-1∣c+d+2. Ezt az esetet tovább bontjuk c értéke szerint.
Ha c=2, akkor felírhatjuk ezt az összefüggést:

2d-1≤d+4,d≤5.
Itt a d=2,3,4,5 eseteket megvizsgálva azt kapjuk, hogy a d=2 és a d=5 ad megoldást.
Ha c=3, akkor ezt írhatjuk fel:
3d-1≤d+5,d≤3.
Mivel c≤d, ezért itt csak a d=3 eset lehetséges, ami megoldást is ad.
Ha pedig c>3, akkor ezt írhatjuk fel:
4d-1≤cd-1≤c+d+2≤2d+2,amiből2d≤3.
Mivel d>3, ezért ez nem lehetséges.
Tehát itt megtaláltuk az összes megoldást.
4. eset: a, b, c és d közül egy egyenlő 1-gyel: a=1. Ekkor bcd-1∣b+c+d+1. Mivel 2≤b≤c≤d, felírhatjuk a következő összefüggést:
2⋅2⋅d-1=4d-1≤bcd-1≤a+b+c+d=b+c+d+1≤3d+1,amiből4d-1≤3d+1,d≤2.
Mivel d>1, ezért itt csak a d=2 eset lehetséges, ami ad is egy megoldást b=c=2 esetén.
5. eset: a, b, c és d közül egyik sem 1. Mivel 2≤a≤b≤c≤d, ezért felírható az alábbi összefüggés:
2⋅2⋅2⋅d-1=8d-1≤abcd-1≤a+b+c+d≤4d,amiből8d-1≤4d,4d≤1.
Ennek pedig 2≤d esetén nem lesz megoldása, tehát itt nincs megoldás.
Összefoglalva, a következő megoldásokat kaptuk: a=1, b=1, c=1, d=2; a=1, b=1, c=1, d=3; a=1, b=1, c=1, d=5; a=1, b=1, c=2, d=2; a=1, b=1, c=2, d=5; a=1, b=1, c=3, d=3; a=1, b=2, c=2, d=2.
 

 Kálóczi Kristóf (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
 
Megjegyzések. 1. Egy másik, többek által használt gondolatmenet: feltesszük, hogy a≤b≤c≤d, amiből abcd-1≤a+b+c+d≤4d. Ebből abcd≤4d+1≤5d, azaz abc≤5 adódik. Innen (szintén esetszétválasztással) megkaphatóak a megoldások.
2. Több beküldőnél előfordult a következő hiba: az oszthatóság definíciója alapján felírták, hogy (abcd-1)k=a+b+c+d, amiből abcdk=a+b+c+d+k, továbbá a szimmetria miatt feltették, hogy k≥d≥c≥b≥a, amiből az abcdk≤5k összefüggést kapták. Végül k-val osztva az abcd≤5 egyenlőtlenséghez jutottak. Ezt vizsgálva azonban nem az összes megoldást kapjuk meg. A hiba ott van a gondolatmenetben, hogy k≥d nem feltétlenül teljesül.
3. Honlapunkon egy harmadik megoldás olvasható.