A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot az (ideális egyenessel kibővített) projektív síkon, a Desargues-tétel többszöri alkalmazásával fogjuk igazolni. Ehhez néhány definíciót, és magát Desargues tételét mondjuk ki először.
1. definíció. Az és háromszögek egy egyenesre nézve (tengelyesen) perspektívek, ha az és , az és , illetve a és egyenespárok , , metszéspontjai mind rajta vannak az egyenesen.
Megjegyzés. Az ideális egyenessel kibővített projektív síkon két háromszöget akkor is tengelyesen perspektívnek tartunk a definíció alapján, ha megfelelő oldalpárjaik párhuzamosak (ekkor azok metszéspontjai mind rajta vannak az ideális egyenesen).
2. definíció. Az és háromszögek egy pontra nézve (centrálisan) perspektívek, ha az , a , és a egyenesek mind átmennek az ponton.
Desargues tétele. Ha az és az háromszögek pontra nézve perspektívek, akkor egyenesre nézve is azok, és fordítva is igaz: ha a háromszögek egyenesre nézve perspektívek, akkor pontra nézve is azok. Ezután térjünk rá a feladat bizonyítására. Tetszőleges esetén jelölje az és egyenesek metszéspontját (mivel a megadott szakaszok különböző hosszúságúak, ezért a pontok nem ideális pontok). Legyen továbbá az egymással párhuzamos , , , egyenesek közös (ideális) pontja . Tekintsük az és a (ahol , , tetszőleges különböző indexek) háromszögeket. Mivel a két háromszög a pontra nézve perspektív, így Desargues tétele alapján tengelyesen is perspektív, azaz az , , az , , illetve az , egyenespárok , metszéspontjai egy egyenesre esnek (lásd az ábrát).
Az , , indexek megfelelő választásával adódik a következő hat darab ponthármasra, hogy az adott ponthármasok mind egy egyenesre esnek: (1) , , ; (2) , , ; (3) , , ; (4) , , ; (5) , , , illetve (6) , , mind (külön-külön) egy egyenesre esik. Továbbá mivel az és háromszögek a pontra nézve perspektívek, Desargues tétele alapján tengelyesen is perspektívek, azaz az , , az , , illetve az , egyenespárok , , metszéspontjai is (akár az imént) egy egyenesre esnek. Utoljára tekintsük az és háromszögeket. A fentiek szerint
azaz a két háromszög a egyenesre perspektív, de akkor Desargues tétele alapján az és háromszögek pontra nézve is perspektívek, azaz az , és egyenesek valóban egy ponton mennek át.
Megjegyzés (diszkusszió). Előfordulhat az , pontok megfelelő választása esetén, hogy az az pont, amire nézve az és háromszögek perspektívek az ideális egyenes egy pontja. Ekkor ‐ mivel projektív síkon dolgoztunk ‐ természetesen az , és egyenesek párhuzamosak lesznek.
Döbröntei Dávid Bence (Pápa, Türr István Gimn. és Koll., 12. évf.) és Molnár-Sáska Zoltán (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján
|