Feladat: B.4902 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Döbröntei Dávid Bence ,  Molnár-Sáska Zoltán 
Füzet: 2018/március, 156 - 158. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Helyvektorok, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2017/október: B.4902

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot az (ideális egyenessel kibővített) projektív síkon, a Desargues-tétel többszöri alkalmazásával fogjuk igazolni. Ehhez néhány definíciót, és magát Desargues tételét mondjuk ki először.

 
1. definíció. Az ABC és A'B'C' háromszögek egy e egyenesre nézve (tengelyesen) perspektívek, ha az AB és A'B', az AC és A'C', illetve a BC és B'C' egyenespárok P, Q, R metszéspontjai mind rajta vannak az e egyenesen.
 
Megjegyzés. Az ideális egyenessel kibővített projektív síkon két háromszöget akkor is tengelyesen perspektívnek tartunk a definíció alapján, ha megfelelő oldalpárjaik párhuzamosak (ekkor azok metszéspontjai mind rajta vannak az ideális egyenesen).

 
2. definíció. Az ABC és A'B'C' háromszögek egy S pontra nézve (centrálisan) perspektívek, ha az AA', a BB', és a CC' egyenesek mind átmennek az S ponton.
 
Desargues tétele. Ha az ABC és az A'B'C' háromszögek pontra nézve perspektívek, akkor egyenesre nézve is azok, és fordítva is igaz: ha a háromszögek egyenesre nézve perspektívek, akkor pontra nézve is azok.
 

Ezután térjünk rá a feladat bizonyítására.
Tetszőleges 1ij4 esetén jelölje Pij az AiAj és BiBj egyenesek metszéspontját (mivel a megadott szakaszok különböző hosszúságúak, ezért a Pij pontok nem ideális pontok). Legyen továbbá az egymással párhuzamos A1B1, A2B2, A3B3, A4B4 egyenesek közös (ideális) pontja D.
Tekintsük az AiBjAk és a BiAjBk (ahol i, j, k tetszőleges különböző 1i,j,k4 indexek) háromszögeket. Mivel a két háromszög a D pontra nézve perspektív, így Desargues tétele alapján tengelyesen is perspektív, azaz az AiBj, AjBi, az AjBk, AkBj, illetve az AiAk, BiBk egyenespárok Mij, Mjk Pik metszéspontjai egy egyenesre esnek (lásd az ábrát).

 
 

Az i, j, k indexek megfelelő választásával adódik a következő hat darab ponthármasra, hogy az adott ponthármasok mind egy egyenesre esnek: (1) M13, M23, P12; (2) M12, M23, P13; (3) M12, M13, P23; (4) M14, M24, P12; (5) M14, M34, P13, illetve (6) M24, M34, P23 mind (külön-külön) egy egyenesre esik.
Továbbá mivel az A1A2A3 és B1B2B3 háromszögek a D pontra nézve perspektívek, Desargues tétele alapján tengelyesen is perspektívek, azaz az A1A2, B1B2, az A1A3, B1B3, illetve az A2A3, B2B3 egyenespárok P12, P13, P23 metszéspontjai is (akár az imént) egy egyenesre esnek.
Utoljára tekintsük az M12M13M23 és M34M24M14 háromszögeket.
A fentiek szerint
(1+4)M13M23M14M24=P12,illetve(2+5)M12M23M14M34=P13és(3+6)M12M13M24M34=P23,


azaz a két háromszög a P12P13P23 egyenesre perspektív, de akkor Desargues tétele alapján az M12M13M23 és M34M24M14 háromszögek pontra nézve is perspektívek, azaz az M12M34, M13M24 és M14M23 egyenesek valóban egy ponton mennek át.
 
Megjegyzés (diszkusszió). Előfordulhat az Ai, Bi pontok megfelelő választása esetén, hogy az az S pont, amire nézve az M12M13M23 és M34M24M14 háromszögek perspektívek az ideális egyenes egy pontja. Ekkor ‐ mivel projektív síkon dolgoztunk ‐ természetesen az M12M34, M13M24 és M14M23 egyenesek párhuzamosak lesznek.

 

 Döbröntei Dávid Bence (Pápa, Türr István Gimn. és Koll., 12. évf.) és
 Molnár-Sáska Zoltán (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
 dolgozata alapján