Jelölje $B_1$ azoknak a törpöknek a halmazát, akik a legelső napon (a járvány kitörésekor) betegek. Legyen továbbá $B_2$ azoknak a halmaza, akiket a $B_1$-beli törpök (az 1. napon) megfertőznek; nyilván a $B_2$ és a $B_1$ halmazok diszjunktak. Jelölje ezután $B_3$ azon törpök halmazát, akik a 3. napra megbetegednek; ez csak úgy történhet, hogy a 2. napon megfertőződtek $B_2$-beli barátaiktól (hiszen akkor csak azok voltak betegek). Értelemszerűen a $B_3$ és a $B_2$ halmazok diszjunktak; megmutatjuk, hogy ráadásul $B_3$ a $B_1$-től is diszjunkt. Ez abból következik, hogy a 2. napon minden $B_1$-beli törp immunis volt, így akkor nem fertőződhetett meg ‐ tehát nem tartozhat $B_3$-ba.
Hasonlóan definiáljuk a $B_4\mathrm{,}{B}_5\mathrm{,}\text{...}$ halmazokat: minden $j$-re legyen $B_j$ azoknak a törpöknek a halmaza, akik a $j$-edik napon betegek. Nyilván a $B_j$-beliek a $B_{j-1}$-hez tartozó barátaiktól kapták a fertőzést a $\left(j-1\right)$-edik napon. Megmutatjuk, hogy a $B_1\mathrm{,}{B}_2\mathrm{,}{B}_3\mathrm{,}{B}_4\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{B}_j$ halmazok páronként diszjunktak. A $j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$ értékekre ez világos; tegyük fel, hogy igaz minden $j<n$-re. Vizsgáljuk ezután $B_n$ státuszát. A $B_n$-nek és a $B_{n-1}$-nek nincs közös eleme, hiszen az $\left(n-1\right)$-edik napon beteg $B_{n-1}$-beli törpök az $n$-edik napon éppen egészségesek (sőt, immunisak), ezért egyikük sem tartozhat $B_n$-be. Mivel az $\left(n-1\right)$-edik napon $B_{n-2}$ elemei immunisak, azért egyikük sem betegedik meg aznap, vagyis az $n$-edik napon valamennyien egészségesek; tehát $B_n$ és $B_{n-2}$ is diszjunktak.
A $B_n$-nek a $B_1\mathrm{,}{B}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{B}_{n-3}$ halmazokhoz való viszonyát tisztázandó tegyük fel indirekten, hogy valamelyikükhöz nem diszjunkt; legyen $1\le k\le n-3$ olyan érték, amelyre $B_n$-nek és $B_k$-nak létezik egy közös $T$ eleme. Jelölje $S$ az egyik olyan elemét $B_{n-1}$-nek, akitől az $\left(n-1\right)$-edik napon $T$ megfertőződött. Az indukciós feltevés szerint $S$ sem $B_k$-nak, sem pedig $B_{k-1}$-nek nem eleme, azaz a $k$-adik napon nem beteg és nem is immunis. Így azonban $S$-et a $k$-adik napon megfertőzi beteg barátja $T$, ezért a $\left(k+1\right)$-edik napon $S$ beteg lesz, vagyis $S\in B_{k+1}$. Ebből következik, hogy $B_{n-1}$ és $B_{k+1}$ nem diszjunktak, ami $k+1<n-1<n$ és az indukciós feltevés szerint lehetetlen. Ezzel állításunk $n$-re is teljesül, tehát $j$ minden értékére igaz.
Ha $E$-vel jelöljük azoknak a törpöknek a halmazát, akik sosem kapják el a betegséget, akkor az $E$, $B_1$, $B_2$, $\text{...}$ ‐ páronként diszjunkt ‐ halmazok egyesítése a 100 lakosból álló teljes Törpfalva. Ha a $B_1\mathrm{,}{B}_2\mathrm{,}\text{...}{B}_{100}$ halmazok egyike sem üres, akkor $B_{101}$ már szükségképpen az; ha pedig valamelyikük üres, akkor az utána következő többi is. A 101-edik napon tehát semmiképpen nincs beteg, a járvány véget ér.