Feladat:	C.1444	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pszota Máté ,  Werner András
Füzet:	2018/március, 152 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/november: C.1444

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Alakítsuk a fenti egyenlőtlenséget a következőképpen: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x-96\le 0.}\end{array}$ Mint ismeretes, amennyiben egy egész együtthatós polinomnak gyöke egy egész szám, úgy az a konstans tagjának osztója. Így érdemes megvizsgálni a $-96$ osztóit, annak reményében, hogy találunk köztük megoldást. Első esetben $-96=\left(-1\right)\cdot 96=-96=1\cdot \left(-96\right)$. Behelyettesítve láthatjuk, hogy egyik osztó sem megoldás. Második esetben $-96=\left(-2\right)\cdot 48=2\cdot \left(-48\right)$. Behelyettesítve láthatjuk, hogy $x=-2$ gyöke az egyenletnek. Polinomosztással a következő harmadfokú függvényt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^4-4x^3+8x^2-8x-96\right):\left(x+2\right)=x^3-6x^2+20x-48.}\end{array}$ A fenti elvet tovább alkalmazva: $-96=4\cdot \left(-24\right)$ és $-96=\left(-4\right)\cdot 24$. Behelyettesítve láthatjuk, hogy $x=4$ szintén gyöke az egyenletnek. Egy további polinomosztással a már megkapott harmadfokú függvény alapján a következőt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^3-6x^2+20x-48\right):\left(x-4\right)=x^2-2x+12.}\end{array}$ Azonban ezen másodfokú polinom esetén a diszkrimináns értéke $4-4\cdot 12<0$, vagyis nincs valós gyöke. Tehát az $f\left(x\right)=x^4-4x^3+8x^2-8x-96$ függvény görbéje pontosan két pontban metszi az $x$-tengelyt. Mivel $f\left(-3\right)=f\left(5\right)=189>0$ és $f\left(0\right)=-96<0$, ezért a függvény a $\left(-\infty ;-2\right)$ és az $\left(4;\infty \right)$ intervallumon pozitív értékeket, míg a $\left(-2;4\right)$ intervallumon negatív értékeket vesz fel. Minthogy grafikonja máshol nem metszi az $x$-tengelyt, így értéke nem is változhat pozitívról negatívra vagy fordítva egyéb helyeken. Mivel a feladatban szereplő egyenlőtlenség megengedi az egyenlőséget is, ezért $-2\le x\le 4$ esetén teljesül.   Megjegyzés. Sokan számítógépes programmal ábrázolták az $f\left(x\right)$ függvényt, és úgy olvasták le a két gyököt. Ám ekkor még egyrészt ellenőrzéssel meg kell róla győződni, hogy valóban gyök a két leolvasott érték (hiszen lehetne a valódi gyök mondjuk $-2\mathrm{,}00004$ is), másrészt be kell látni, hogy más megoldás nincsen (hiszen bármilyen programmal is ábrázoljuk, mindenképpen csak egy adott intervallumon látszódik a függvény görbéje).    Pszota Máté (Révkomárom, Selye János Gimn., 12. évf.)     II. megoldás. Azonos átalakításokkal az egyenlőtlenség bal oldala a következő szorzattá alakítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^2-2x\right)\left(\left(x^2-2x\right)+4\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Vezessünk be új változót: $y=x^2-2x=x\left(x-2\right)$, ezzel a megoldandó egyenlőtlenségünk a következő egyszerű alakot ölti: $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2+4y\le 96.}\end{array}$ Adjunk az egyenlőtlenség mindkét oldalához $4$-et, így teljes négyzetet kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(y+2\right)}^2\le 100.}\end{array}$ Ennek megoldása: $-10\le y+2\le 10$, amiből $0\le y\le 8$ vagy $-12\le y<0$. Térjünk vissza a régi változóra. A következő egyenlőtlenségeket kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle -12\le x\left(x-2\right)<\mathrm{0,}\text{illetve}0\le x\left(x-2\right)\le 8.}\end{array}$ Az $f\left(x\right)=x\left(x-2\right)$ függvény negatív és zéró értéket a $\left[0;2\right]$ intervallumon vesz fel, minimális értéke $f(\frac{0+2}{2})=f\left(1\right)=-1$, tehát minden pontban igaz, hogy $x\left(x-2\right)\ge -12$. Vagyis az első egyenlőtlenség $x\left(x-2\right)<0$, azaz $x\in \left(0;2\right)$ esetén teljesül. A vizsgált függvény pozitív értékeket az előbbi intervallumon kívül, vagyis $x\notin \left(\mathrm{0,2}\right)$ esetén vesz fel, itt teljesülni kell az $x\left(x-2\right)\le 8$ egyenlőtlenségnek. Az $x^2-2x-8=0$ egyenlet gyökei $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2-\sqrt[]{4+4\cdot 8}}{2}=-2\text{és}\frac{2+\sqrt[]{4+4\cdot 8}}{2}=\mathrm{4,}}\end{array}$ tehát ha $x\notin \left(\mathrm{0,2}\right)$, akkor az $x\left(x-2\right)\le 8$ egyenlőtlenség megoldása $x\in \left[-2;0\right]\cup \left[2;4\right]$. Végül az eredeti egyenlőtlenség megoldása $x\in \left[-2;4\right]$.    Werner András (Budapest, Piarista Gimn., 10. évf.)   Megjegyzés. Sokan oldották meg a honlapunkon is látható módon a feladatot: az egyenlőtlenséget $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-1\right)}^4+2{\left(x-1\right)}^2-99\le 0}\end{array}$ alakra hozva, majd bevezetve az $y={\left(x-1\right)}^2$ változót.