A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az ábrán látható módon -lal azt a távolságot, amennyire a víz ,,belóg'' a tekercsbe az áram bekapcsolása előtt, -szel pedig azt, amennyivel lesüllyed a vízszint a tekercsben az áram bekapcsolása után.
A tekercsben (annak vízzel teli részében is és a levegőt tartalmazó részében is) | | nagyságú mágneses indukció alakul ki (lásd az idézett cikket). Ez az indukció látható módon függ az távolságtól. A teljes ( keresztmetszetű) tekercsen áthaladó mágneses fluxus: ami ugyancsak függvénye. A fluxus kifejezhető a tekercs önindukciós együtthatójával is: Az áramjárta tekercs mágneses energiával rendelkezik, aminek nagysága | | (1) | vagyis | | (2) |
A folyadék gravitációs helyzeti energiája (az árammentes állapot azonos vízszintmagasságú állapotához viszonyítva) hiszen tömegű folyadékmennyiség tömegközéppontja -szel magasabbra került. Számítsuk most ki, hogy mennyit változna a rendszer mágneses, illetve gravitációs energiája, ha valamilyen ok miatt az távolság egy kicsiny értékkel növekedne. A (2) képletből közvetlen számolással adódik:
(Az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy és .) Ugyanezt az eredményt a differenciálszámítás alkalmazásával is megkaphatjuk: Mivel víznél (a víz diamágneses), (4)-ből leolvasható, hogy a vízszint kicsiny lesüllyedésekor (vagyis esetén) a rendszer mágneses energiája növekszik. Hasonló módon számíthatjuk ki a (3)-ból, hogy mennyit változna a víz helyzeti energiája, ha a vízszint valamilyen ok miatt egy kicsiny értékkel lesüllyedne:
ami így is megkapható: | | Látható, hogy és esetén a folyadék helyzeti energiája is növekszik. Vajon mi fedezné a rendszer mágneses és gravitációs helyzeti energiájának megváltozását, ha a vízszint értékkel lesüllyedne? A vízszint elképzelt változásakor a tekercsen áthaladó mágneses fluxus értékkel megváltozik, miközben az áramforrás (áramgenerátor) biztosítja, hogy az áramerősség változatlan maradjon. A fluxusváltozás feszültséget indukál a tekercsben, emiatt az áramforrás feszültségének is meg kell növekednie értékkel (ahol az elképzelt változás ideje). Ilyen körülmények között az áramforrás több energiát ad le, mint amennyit korábban (a Joule-hő fedezésére) leadott, a különbség (6) és (1) összevetéséből látszik, hogy . Egyensúly esetén az elképzelt (virtuális) vízszintváltozásnál teljesülnie kell a összefüggésnek. Ha a fenti összefüggés nem állna fenn, akkor valamilyen előjelű mellett nagyobb lenne, mint a rendszer mágneses és gravitációs energiájának megváltozása. A különbség fedezhetné a folyadék mozgási energiáját, és így a folyadék nem maradna egyensúlyban, hanem mozgásba jönne. Az egyensúly feltétele tehát | | ami (4) és (5) felhasználásával így írható: | | Innen a vízszint keresett megváltozása az áram hatására: Mivel , a víz a tekercs belsejében egy kicsit lesüllyed. Olosz Adél (Pécs, PTE. Gyak. Ált. Isk., Gimn. és Szakgimn., 11. évf.) dolgozata alapján
II. megoldás. A vízszint mágneses mező okozta eltolódását a mágneses indukció nagysága határozza meg, és a vízszint egyensúlyi helyzete nem függ attól, hogy mi hozza létre a mágneses mezőt. Cseréljük fel a feladatban szereplő tekercset egy ugyanolyan geometriájú, rövidre zárt szupravezető tekerccsel, amiben ugyancsak erősségű áram folyik az egyensúlyi állapotban. Ez a rendszer energetikailag zárt (hiszen nem kapcsolódik külső áramforráshoz), ezért az egyensúlyi állapotát az összes (mágneses + gravitációs) energia minimuma határozza meg. A folyadék gravitációs helyzeti energiája (az I. megoldás jelöléseit használva) A tekercs belsejében indukciójú mágneses mező van, hiszen mind a levegő, mind pedig a víz relatív permeabilitása jó közelítéssel 1-nek tekinthető. A mágneses tér energiája az energiasűrűség képletből számolható. Mivel a tekercs hosszú részét víz, hosszú részét pedig levegő tölti ki, a mágneses energia: | | Ebben a kifejezésben a (7) összefüggéssel megadott mágneses indukció, ami szupravezető tekercs esetében (a mágneses fluxus állandósága miatt) nem függ -től. A rendszer teljes energiája | | Ez -ben másodfokú kifejezés, aminek minimumát pl. teljes négyzetté alakítással, a parabola tulajdonságainak felhasználásával, esetleg deriválással határozhatjuk meg: | | ahol a víz relatív permeabilitása, a levegő 1,000 000 36 értékű relatív permeabilitását pedig 1-gyel helyettesítettük. Elek Péter (Debreceni Ref. Koll. Dóczy Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján |