Kezdőlap


Feladat:	4974. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pácsonyi Péter
Füzet:	2018/május, 305 - 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Adiabatikus állapotváltozás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/november: 4974. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amikor a kocsi nekiütközik a falnak, a tartályban lévő dugattyú $v$ kezdősebességgel (az ütközés előtti sebességével) mozog tovább. A bal és a jobb oldali térfélben található levegőrészek ‐ a jó hőszigetelelés miatt ‐ adiabatikusan tágulnak, illetve nyomódnak össze. A fal felőli rekeszben lévő gáz akkor éri el a legmagasabb hőmérsékletét, amikor a térfogata a legkisebb lesz, vagyis amikor a dugattyú éppen megáll.
Jelöljük a levegőrészek térfogatát ebben az állapotban

\begin{matrix} V_{1} = V_{0} + Δ V és V_{2} = V_{0} - Δ V \end{matrix}

módon, a nyomások pedig legyenek

p_{1}

és

p_{2}

. A levegő kb. 99 százalékát kétatomos gáz alkotja, így a levegőmolekulák szabadsági foka

f = 5

-nek, a fajhőhányados pedig

κ = \frac{f + 2}{f} = \frac{7}{5} = 1, 4

-nek vehető.
Az adiabatikus állapotváltozás egyenlete szerint

\begin{matrix} p_{1} = p_{0} \frac{V_{0}^{κ}}{V_{1}^{κ}}, illetve p_{2} = p_{0} \frac{V_{0}^{κ}}{V_{2}^{κ}} . \end{matrix}

A nyomásokkal és a térfogatokkal kifejezhető a levegőrészek belső energiája:

\begin{matrix} E_{0} = \frac{f}{2} p_{0} V_{0}, E_{1} = \frac{f}{2} p_{1} V_{1} és E_{2} = \frac{f}{2} p_{2} V_{2} . \end{matrix}

Felírhatjuk még (az ütközés utáni pillanattól a dugattyú megállásáig) az energiamegmaradás törvényét:

\begin{matrix} 2 E_{0} + \frac{M v^{2}}{2} = E_{1} + E_{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{M v^{2}}{f p_{0} V_{0}^{κ}} + 2 V_{0}^{1 - κ} = {(V_{0} + Δ V)}^{1 - κ} + {(V_{0} - Δ V)}^{1 - κ} . \end{matrix}

Az ismert adatok behelyettesítése után (ha az SI mértékegységeket nem írjuk ki) az alábbi összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} {(0, 05 + Δ V)}^{- 0, 4} + {(0, 05 - Δ V)}^{- 0, 4} = 6, 9. \end{matrix}

Ezt az egyenletet a szokásos algebrai módszerekkel nem lehet megoldani, ezért közelítő módszerrel próbálkozunk: fokozatosan leszűkítjük azt az intervallumot, amely a keresett

Δ V

értéket tartalmazza. Mivel

Δ V = 0, 01

-nél a fenti egyenlet bal oldala 6,71,

Δ V = 0, 02

-nél pedig 6,96, a keresett

Δ V

valahol 10 és 20 liter között lehet.
Tovább felezve az intervallumok hosszát a következő értékeket kapjuk:

\begin{matrix} Δ V & = 0, 01500 \to 6, 807; \\ Δ V & = 0, 01750 \to 6, 877; \\ Δ V & = 0, 01875 \to 6, 918; \\ Δ V & = 0, 01813 \to 6, 897; \\ Δ V & = 0, 01844 \to 6, 908; \\ Δ V & = 0, 01828 \to 6, 902; \\ Δ V & = 0, 01820 \to 6, 899; \\ Δ V & = 0, 01824 \to 6, 901; \\ Δ V & = 0, 01822 \to 6, 900. \end{matrix}

Δ V = 18, 22

liter

(0, 018 22 m^{3})

tehát már nagyon jól közelíti a pontos értéket. Ezek szerint

V_{2} = V_{0} - Δ V = 31, 78

liter, a gáz hőmérséklete pedig (az adiabatikus egyenlet és a gáztörvény alapján)

\begin{matrix} T_{2} = T_{0} {(\frac{V_{0}}{V_{2}})}^{κ - 1} = 300 K \cdot {(\frac{50}{31, 78})}^{0, 4} \approx 360 K = 87^{\circ} C . \end{matrix}

Pácsonyi Péter (Zalaegerszegi Zrínyi M. Gimn., 10. évf.)