Kezdőlap


Feladat:	B.4893	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2018/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög nevezetes vonalai, Középponti és kerületi szögek, Tengelyes tükrözés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/szeptember: B.4893

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit.

Legyen az

A

B

C

pontokon átmenő

k

kör középpontja

O

. Ismert, hogy

A B \neq B C

esetén az

A B C ∢

szögfelezőjének és az

A C

oldalfelező merőlegesének pontosan egy közös pontja van, és ez a közös pont rajta van az

A B C

háromszög köré írt körén. Ez a közös pont az

E

pont, azaz

E

rajta van az

A C

oldalfelező merőlegesén.
Jelöljük a

O E

oldalfelező merőlegesnek és az

A C

oldalnak a metszéspontját (vagyis

A C

felezőpontját)

M

-mel. Mivel

E M D ∢ = 90^{\circ}

, azért Thalész tétele alapján

M

rajta van a

D F E

háromszög körülírt körén. Az

E O

egyenes messe másodszor a

k

kört

H

-ban. Mivel

D F E ∢ = 90^{\circ}

és

H F E ∢ = 90^{\circ}

(Thalész tétele alapján), a

D F

egyenes átmegy

H

-n.
Thalész tétele alapján

H B E ∢ = 90^{\circ}

, mivel

H E

átmérő. Vagyis, mivel

H B D ∢ + D M H ∢ = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}

, a

H B D M

négyszög húrnégyszög. Így a kerületi és középponti szögek tétele alapján

M H D ∢ = M B D ∢

.
Mivel

H B F E

is húrnégyszög, ismét a kerületi és középponti szögek tétele alapján

E H F ∢ = E B F ∢

.
Tehát

D B F ∢ = M B D ∢

, így

B F

tükörképe

B D

-re

B M

, azaz

B F

tükörképe valóban a súlyvonal.

Többen megjegyezték, hogy a feladat állítása ekvivalens azzal, miszerint a

B F

egyenes az

A B C

háromszög egy szimmediánja. A szommediánról bővebben olvashatunk Surányi László: A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól II. rész (KöMal-1984/november) cikkében.