Kezdőlap


Feladat:	B.4890	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Weisz Máté
Füzet:	2018/január, 26 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Számelmélet alaptétele, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/szeptember: B.4890

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel az $\frac{x}{y}$ pozitív racionális számot egymáshoz relatív prím $a$ és $b$ pozitív egész számok hányadosaként: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$ . Az egyenlet átrendezésével azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} x - y - 2017 = \frac{x}{y} + \frac{x^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{4}}{y^{4}} \end{matrix}

egész szám, vagyis

\begin{matrix} \frac{x}{y} + \frac{x^{3}}{y^{3}} - \frac{x^{4}}{y^{4}} = \frac{a}{b} + \frac{a^{3}}{b^{3}} - \frac{a^{4}}{b^{4}} = \frac{a b^{3} + a^{3} b - a^{4}}{b^{4}} \end{matrix}

szintén egész szám. A számláló tehát osztható

b^{4}

-nel, így

b

-vel is. A számláló első két tagja

b

-nek többszöröse, tehát

a^{4}

-nek is oszthatónak kell lennie

b

-vel. Az

a

és

b

relatív prímek, emiatt innen már csak

b = 1

lehetséges. Ezzel beláttuk, hogy az

\frac{a}{b}

tört egész szám. Legyen most

\frac{a}{b} = \frac{x}{y} = z

pozitív egész. Ekkor

x = y z

, ahol

x

y

z

mind pozitív egészek. Ezzel a jelöléssel az eredeti egyenlet könnyebben kezelhető formában írható:

\begin{matrix} y z - y - z - z^{3} + z^{4} = 2017. \end{matrix}

Innen a megoldás befejezésére két lehetőséget is megmutatunk.

I.) Adjunk mindkét oldalhoz egyet, majd alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát:

\begin{matrix} y z - y - z + 1 - z^{3} + z^{4} & = 2018, \\ (y - 1) (z - 1) + z^{3} (z - 1) & = 2018, \\ (z - 1) (y - 1 + z^{3}) & = 2018. \end{matrix}

Az 1009 prímszám, a 2018 tehát csak kétféleképpen bomlik pozitív egészek szorzatára:

2018 = 1 \cdot 2018 = 2 \cdot 1009

. A bal oldalon mindkét tényező pozitív kell legyen, hiszen

z^{3} + y - 1 \geq 1 + 1 - 1 = 1

. Továbbá az is biztos, hogy

\begin{matrix} z^{3} + y - 1 \geq z + y - 1 > z - 1, \end{matrix}

így csak

z^{3} + y - 1 = 1009

és

z - 1 = 2

, illetve

z^{3} + y - 1 = 2018

és

z - 1 = 1

lehetséges.
Az elsőből

z = 3

y = 1009 + 1 - 27 = 983

x = 2949

, a másodikból pedig

z = 2

y = 2018 + 1 - 8 = 2011

x = 4022

adódik. Ellenőrzéssel látható, hogy mindkét gyökpár kielégíti az egyenletet.

II.) Először megmutatjuk, hogy

z \geq 7

esetén nincs megoldása az egyenletnek. Ha

z \geq 7

, akkor

\begin{matrix} y z - y - z - z^{3} + z^{4} & \geq 7 y - y - z - z^{3} + z^{4} > z^{4} - z^{3} - z = z (z^{3} - z^{2} - 1) \geq \\ \geq 7 (z^{3} - z^{2} - 1) = 7 z^{2} (z - 1) - 7 \geq 7 \cdot 49 \cdot 6 - 7 = 2051. \end{matrix}

Az is azonnal adódik, hogy

z = 1

esetén

y z - y - z - z^{3} + z^{4} = - 1

, így elegendő a továbbiakban

z = 2,3,4,5,6

vizsgálata. Az egyenletből kifejezzük

y

-t és sorra megvizsgáljuk, hogy melyik

z

esetén kapunk egész értéket

y

-ra:

\begin{matrix} y = \frac{2017 - z^{4} + z^{3} + z}{z - 1} . \end{matrix}

z = 6

esetén a tört

\frac{943}{5}

, a

z = 5

-re a tört

\frac{1522}{4}

, végül

z = 4

-re a tört

\frac{1829}{3}

, egyik sem egész. Marad a

z = 3

, ahol

y = 983

, továbbá

z = 2

, ahol pedig

y = 2011

. Az elsőre

x = 2949

, a másodikra

x = 4022

Weisz Máté (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján