A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Írjuk fel az pozitív racionális számot egymáshoz relatív prím és pozitív egész számok hányadosaként: . Az egyenlet átrendezésével azt kapjuk, hogy egész szám, vagyis | | szintén egész szám. A számláló tehát osztható -nel, így -vel is. A számláló első két tagja -nek többszöröse, tehát -nek is oszthatónak kell lennie -vel. Az és relatív prímek, emiatt innen már csak lehetséges. Ezzel beláttuk, hogy az tört egész szám. Legyen most pozitív egész. Ekkor , ahol , , mind pozitív egészek. Ezzel a jelöléssel az eredeti egyenlet könnyebben kezelhető formában írható:
Innen a megoldás befejezésére két lehetőséget is megmutatunk.
I.) Adjunk mindkét oldalhoz egyet, majd alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát:
Az 1009 prímszám, a 2018 tehát csak kétféleképpen bomlik pozitív egészek szorzatára: . A bal oldalon mindkét tényező pozitív kell legyen, hiszen . Továbbá az is biztos, hogy így csak és , illetve és lehetséges. Az elsőből , , , a másodikból pedig , , adódik. Ellenőrzéssel látható, hogy mindkét gyökpár kielégíti az egyenletet.
II.) Először megmutatjuk, hogy esetén nincs megoldása az egyenletnek. Ha , akkor
Az is azonnal adódik, hogy esetén , így elegendő a továbbiakban vizsgálata. Az egyenletből kifejezzük -t és sorra megvizsgáljuk, hogy melyik esetén kapunk egész értéket -ra: A esetén a tört , a -re a tört , végül -re a tört , egyik sem egész. Marad a , ahol , továbbá , ahol pedig . Az elsőre , a másodikra .
Weisz Máté (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján |
|