Kezdőlap


Feladat:	B.4880	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2018/január, 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/május: B.4880

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a_{n} \cdot a_{n + 1} = a_{n + 2} \cdot a_{n + 3}$ összefüggés szerint

\begin{matrix} a_{n + 3} = \frac{a_{n} \cdot a_{n + 1}}{a_{n + 2}} \end{matrix}

minden pozitív egész

n

-re. Ezért

a_{n}

a_{n + 1}

és

a_{n + 2}

egyértelműen meghatározza

a_{n + 3}

értékét. A feladat állításának igazolásához így elég belátni, hogy létezik olyan

n

és

k

pozitív egész, amelyekre

a_{n + k} = a_{n}

a_{n + 1 + k} = a_{n + 1}

és

a_{n + 2 + k} = a_{n + 2}

egyszerre teljesül, hiszen akkor

\begin{matrix} a_{n + 3 + k} = \frac{a_{n + k} \cdot a_{n + 1 + k}}{a_{n + 2 + k}} = \frac{a_{n} \cdot a_{n + 1}}{a_{n + 2}} = a_{n + 3} \end{matrix}

stb. Az előbbi igazolásához legyen

M = a_{1} \cdot a_{2}

; ekkor

M = a_{3} \cdot a_{4} = a_{5} \cdot a_{6} = a_{7} \cdot a_{8}

, és így tovább, ezért a sorozat minden elemére

1 \leq a_{v} \leq M

. Ebből következik, hogy az

a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}

rendezett számhármasok csak véges sokfélék lehetnek (legfeljebb

M^{3}

-féle számhármas állhat elő ezen a módon). Így az

{a_{1}, a_{2}, a_{3}}

{a_{4}, a_{5}, a_{6}}

{a_{7}, a_{8}, a_{9}}

...

(rendezett) számhármasok között biztosan lesz két egyező.