Kezdőlap


Feladat:	4976. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berke Martin , Debreczeni Tibor , G. P. , Kondákor Márk , Máth Benedek , Molnár Mátyás , Morvai Orsolya , Póta Balázs , Sal Dávid
Füzet:	2018/április, 245 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/november: 4976. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Legyen az $m$ tömegű, $q$ töltésű golyó az 1. számú, a $2 m$ tömegű, $q$ töltésű a 2. számú, az $5 m$ tömegű és $2 q$ töltésű pedig a 3. számú test! Vizsgáljuk meg először, hogy mekkora erők hatnak az egyes testekre! Mivel a golyók kicsik, alkalmazhatjuk a ponttöltésekre vonatkozó Coulomb-féle erőtörvényt. A pozitív irányt az 1. testtől a 3. számú test irányába megválasztva rendre felírhatjuk az egyes testre ható eredő erőket a kezdeti helyzetben:

\begin{matrix} F_{1} & = - k \frac{q^{2}}{d^{2}} - k \frac{2 q^{2}}{{(2 d)}^{2}} = - k \frac{3 q^{2}}{2 d^{2}}, \\ F_{2} & = k \frac{q^{2}}{d^{2}} - k \frac{2 q^{2}}{d^{2}} = - k \frac{q^{2}}{d^{2}}, \\ F_{3} & = k \frac{2 q^{2}}{{(2 d)}^{2}} + k \frac{2 q^{2}}{d^{2}} = k \frac{5 q^{2}}{2 d^{2}} . \end{matrix}

Mivel az indulást követő

t_{0}

nagyon rövid, ezek az erők

t_{0}

idő alatt állandónak tekinthetőek, és így az egyes testek sebessége rendre:

\begin{matrix} v_{1} & = \frac{I_{1}}{m} = \frac{F_{1} t_{0}}{m} = - k \frac{3 q^{2} t_{0}}{2 d^{2} m}, \\ v_{2} & = \frac{I_{2}}{2 m} = \frac{F_{1} t_{0}}{2 m} = - k \frac{q^{2} t_{0}}{2 d^{2} m}, \\ v_{3} & = \frac{I_{3}}{5 m} = \frac{F_{1} t_{0}}{5 m} = k \frac{q^{2} t_{0}}{2 d^{2} m} . \end{matrix}

(A lendületmegmaradás törvénye szerint

m v_{1} + 2 m v_{2} + 5 m v_{3} = 0

, és ez valóban teljesül.)
Mivel az erők

t_{0}

idő alatt jó közelítéssel állandóknak tekinthetők, a gyorsulások sem változhatnak ezen idő alatt. Így a golyók átlagsebessége a kezdeti és a

t_{0}

időpontbeli ,,végsebesség'' számtani közepe, amiből megkaphatjuk a testek elmozdulását:

\begin{matrix} r_{1} & = \frac{0 + v_{1}}{2} t_{0} = - k \frac{3 q^{2} t_{0}^{2}}{4 d^{2} m}, \\ r_{2} & = \frac{0 + v_{2}}{2} t_{0} = - k \frac{q^{2} t_{0}^{2}}{4 d^{2} m}, \\ r_{3} & = \frac{0 + v_{3}}{2} t_{0} = k \frac{q^{2} t_{0}^{2}}{4 d^{2} m} . \end{matrix}

Ezekből számolható a golyók közötti távolság is:

\begin{matrix} d_{1,2} & = d + | r_{2} - r_{1} | = d (1 + k \frac{q^{2} t_{0}^{2}}{2 d^{3} m}), \\ d_{2,3} & = d + | r_{3} - r_{2} | = d (1 + k \frac{q^{2} t_{0}^{2}}{2 d^{3} m}), \\ d_{3,1} & = 2 d + | r_{3} - r_{1} | = 2 d (1 + k \frac{q^{2} t_{0}^{2}}{2 d^{3} m}) . \end{matrix}

b)

Használjuk fel az előző részfeladat eredményeit! Látható, hogy kis

t_{0}

idő elteltével az 1 ‐ 2 és 2 ‐ 3 testek távolságának aránya állandó maradt, hiszen:

\begin{matrix} \frac{d_{1,2}}{d_{2,3}} \equiv 1. \end{matrix}

Ebből az is következik, hogy újabb kis

Δ t

idő múlva is fenn fog állni ez az arány, mint ahogy az azután következő összes későbbi időpillanatra is. Ennek egyenes következménye, hogy a testek pillanatnyi sebességének aránya is mindvégig ugyanakkora lesz, és így a testek végsebességére (rendre

u_{1}

u_{2}

és

u_{3}

) is fennáll, hogy:

\begin{matrix} u_{1} : u_{2} : u_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} = (- 3) : (- 1) : (+ 1) . \end{matrix}

Ezek szerint a végsebességekre teljesül, hogy

\begin{matrix} u_{1} = - 3 u_{3} és u_{2} = - u_{3} . \end{matrix}

Emellett tudjuk, hogy nagyon hosszú idő múlva ‐ amikor a kis golyók olyan távol lesznek, hogy már nem fejtenek ki egymásra számottevő erőt ‐ az elektromos mező kezdeti energiája teljesen átalakul a golyók mozgási energiájává. Felírhatjuk a munkatételt:

\begin{matrix} k \frac{q^{2}}{d} + k \frac{2 q^{2}}{2 d} + k \frac{2 q^{2}}{d} = \frac{1}{2} m u_{1}^{2} + \frac{1}{2} (2 m) u_{2}^{2} + \frac{1}{2} (5 m) u_{3}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 4 k \frac{q^{2}}{d} = \frac{1}{2} m {(3 u_{3})}^{2} + \frac{1}{2} (2 m) u_{3}^{2} + \frac{1}{2} (5 m) u_{3}^{2} = 8 m u_{3}^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} u_{3} = \sqrt[]{\frac{k q^{2}}{2 d m}}, u_{1} = - 3 \sqrt[]{\frac{k q^{2}}{2 d m}}, u_{2} = - \sqrt[]{\frac{k q^{2}}{2 d m}} . \end{matrix}

Kondákor Márk (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)

Megjegyzés. A fenti gondolatmenet nem minden esetben, hanem csak a

q_{i}

töltések és az

m_{i}

tömegek bizonyos speciális értékeinél alkalmazható. A golyók távolságának aránya csak akkor marad időben állandó, ha fennáll, hogy

\begin{matrix} - \frac{q_{1}}{m_{1}} (q_{2} + \frac{1}{4} q_{3}) + \frac{q_{3}}{m_{3}} (q_{2} + \frac{1}{4} q_{1}) = 2 \frac{q_{2}}{m_{2}} (q_{1} - q_{3}) . \end{matrix}

A feladatban szereplő adatok mellett ez az összefüggés teljesül.
Általános esetben, tetszőleges tömeg- és töltésadatok mellett a feladat elemi eszközökkel nem oldható meg.

(G. P.)