Kezdőlap


Feladat:	4948. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Németh Róbert
Füzet:	2018/április, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hullámterjedés rugalmas közegben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/május: 4948. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $ℓ_{1}$ jelöli a rövidebb rúd hosszát, vagyis $ℓ_{1} < ℓ_{2}$ . Az egydimenziós mozgásban szereplő sebességeket tekinthetjük előjeles számoknak, ezzel a sebességvektorok nagysága mellett az irányukat is kifejezhetjük.
A feladatban hivatkozott cikk említi, hogy alkalmasan választott vonatkoztatási rendszerben az ütközési felület a különböző hosszúságú rudak esetében is (egy bizonyos ideig) mozdulatlan lesz. Keressük meg ezt az ,,alkalmasan választott'' vonatkoztatási rendszert! Jelöljük ezen vonatkoztatási rendszer talajhoz viszonyított sebességét $u$ -val! Miután a rudak ütköznek, a lökéshullámok a két rúdban (a rudak végpontjaihoz viszonyítva) azonos sebességgel kezdenek terjedni. Emiatt, amikor a hullám az $ℓ_{1}$ hosszú rúd végére ér, akkor a másik rúdban is $ℓ_{1}$ hosszú utat tett meg, a rúd maradék része pedig még eredeti, $v_{2}$ sebességével halad. Azok a részek, amelyeken a lökéshullám áthaladt, az ütközési felülethez képest mozdulatlanok, vagyis talajhoz rögzített rendszerből szemlélve $u$ sebességgel haladnak. Ezek a testek zárt rendszert alkotnak, így a lendületmegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} ℓ_{1} v_{1} + ℓ_{2} v_{2} = 2 ℓ_{1} u + (ℓ_{2} - ℓ_{1}) v_{2}, vagyis u = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} . \end{matrix}

Kihasználtuk, hogy a rudak tömege a hosszúságukkal arányos, és az arányossági tényező (a rúd keresztmetszetének és sűrűségének szorzata) kiesik a képletekből.
Az ütközési felület tehát ekkora

u

sebességgel halad az ütközés során. Az ilyen sebességgel haladó koordináta-rendszerből nézve az

ℓ_{1}

hosszú rúd kezdeti sebessége

v_{1} - u

, az ütközés utáni sebessége pedig értelemszerűen ennek ellentettje,

u - v_{1}

lesz. (Az ütközési felület ebből a rendszerből nézve mozdulatlan, vagyis a merev fallal való ütközéshez hasonló helyzet alakul ki.) A talajhoz rögzített rendszerből nézve a rövidebb rúd ütközés utáni sebessége:

\begin{matrix} v_{1}' = u - v_{1} + u = 2 u - v_{1} = 2 \cdot \frac{v_{1} + v_{2}}{2} - v_{1} = v_{2} . \end{matrix}

Az ütközési számot (annak egyik definíciója szerint) úgy kaphatjuk meg, hogy a tömegközépponti rendszerben kiszámítjuk valamelyik test ütközés utáni és ütközés előtti lendületének hányadosát (annak abszolút értékét). Az ütközés után az

ℓ_{1}

hosszúságú rúd minden egyes pontjának ugyanakkora a sebessége, a rúdban nem maradtak feszültségek (ez nem áll fenn az

ℓ_{2}

hosszúságú rúdra), így egyszerűbb a rövidebb rudat vizsgálnunk. Az ütközési szám kiszámításához tehát meg kell nézni, mekkora sebességgel haladt a rövidebb rúd az ütközés előtt és után a tömegközépponti rendszerben.
A tömegközéppont sebessége:

\begin{matrix} u_{tk} = \frac{ℓ_{1} v_{1} + ℓ_{2} v_{2}}{ℓ_{1} + ℓ_{2}} . \end{matrix}

ℓ_{1}

hosszú rúd sebessége tehát a tömegközépponti rendszerben az ütközés előtt:

\begin{matrix} v_{1, tk} = v_{1} - u_{tk} = v_{1} - \frac{ℓ_{1} v_{1} + ℓ_{2} v_{2}}{ℓ_{1} + ℓ_{2}} = \frac{(ℓ_{1} + ℓ_{2}) v_{1} - ℓ_{1} v_{1} - ℓ_{2} v_{2}}{ℓ_{1} + ℓ_{2}} = \frac{ℓ_{2} (v_{1} - v_{2})}{ℓ_{1} + ℓ_{2}}, \end{matrix}

az ütközés után pedig:

\begin{matrix} v_{1, tk}' = v_{1}' - u_{tk} = v_{2} - \frac{ℓ_{1} v_{1} + ℓ_{2} v_{2}}{ℓ_{1} + ℓ_{2}} = \frac{(ℓ_{1} + ℓ_{2}) v_{2} - ℓ_{1} v_{1} - ℓ_{2} v_{2}}{ℓ_{1} + ℓ_{2}} = \frac{ℓ_{1} (v_{2} - v_{1})}{ℓ_{1} + ℓ_{2}} . \end{matrix}

Az ütközési szám a fenti két sebesség hányadosának abszolút értékével egyenlő:

\begin{matrix} k = | \frac{v_{1, tk}'}{v_{1, tk}} | = | \frac{ℓ_{1} (v_{2} - v_{1})}{ℓ_{2} (v_{1} - v_{2})} | = | - \frac{ℓ_{1}}{ℓ_{2}} | = \frac{ℓ_{1}}{ℓ_{2}} . \end{matrix}

Az ütközési szám tehát a rövidebb és a hosszabb rúd hosszának hányadosa. (Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a hosszabb rúd ütközés utáni és ütközés előtti lendületének hányadosát számoljuk ki a tömegközépponti rendszerben.)

Németh Róbert (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)