Kezdőlap


Feladat:	4972. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kozák András
Füzet:	2018/február, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb kényszermozgás, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/november: 4972. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a kicsiny gyűrű súrlódásmentesen csúszhat a vízszintes rúdon, a rúd és csiga közötti fonál a mozgás első szakaszában (amíg a test el nem éri pályájának legalsó pontját) folyamatosan függőleges lesz. Ha ez nem teljesülne, akkor az 1. ábrán látható $K$ erőnek lenne vízszintes komponense is, ami az elhanyagolható tömegű gyűrűt nagyon nagy (határesetben ,,végtelen nagy'') gyorsulással mozgatná; ez nyilván nem lehetséges. A csiga és a rögzített végpont közötti fonáldarabban ható $K'$ erő kicsiny (elhanyagolható tehetetlenségi nyomatékú) csiga esetében $K$ -val azonos nagyságú, ellenkező esetben a csigára ható eredő forgatónyomaték ,,végtelen nagy'' szöggyorsulást eredményezne.

1. ábra

b)

Határozzuk meg először az

m

tömegű test pályájának alakját! Vegyünk fel egy olyan derékszögű koordináta-rendszert, amelynek

x

tengelye illeszkedik a rúdra, az

y

tengely

(0, - d)

pontja pedig a fonál gyűrűzetlen felfüggesztési pontja (2. ábra). Legyen

P (x, y)

a test pályájának egy tetszőleges pontja a 3. síknegyedben (

x \leq 0

és

y \leq 0

2. ábra

A fonál ismert hosszát kifejezhetjük a

P

pont koordinátáival:

\begin{matrix} A P + P B = - y + \sqrt[]{x^{2} + {(- y - d)}^{2}} = ℓ, \end{matrix}

ahonnan algebrai átalakítások után

\begin{matrix} y = \frac{x^{2}}{2 (ℓ - d)} - \frac{ℓ + d}{2} \end{matrix}

adódik. Ebből leolvasható, hogy a pálya egyenlete egy parabolát határoz meg. A parabola tengelye függőleges, paramétere

p = ℓ - d

, fókusztávolsága tehát

\begin{matrix} f = \frac{p}{2} = \frac{(ℓ - d)}{2} . \end{matrix}

A parabola csúcspontja a rúd (vagyis az

x

tengely) alatt, attól

\begin{matrix} h = \frac{ℓ + d}{2} \end{matrix}

távolságra található.

a)

A pálya legalsó pontja a rúd alatt

h

mélységben található. A rúdtól kezdősebesség nélkül induló

m

tömegű test sebessége a legalsó pontban (a mechanikai energiamegmaradás tétele szerint):

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g h} = \sqrt[]{g (ℓ + d)} . \end{matrix}

c)

A parabola görbületi sugara a pálya legalsó pontjában (a gömbtükörre vonatkozó, ismert optikai összefüggés szerint):

\begin{matrix} R = 2 f = ℓ - d . \end{matrix}

A test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} 2 K - m g = m \frac{v^{2}}{R}, \end{matrix}

ahonnan (

v

és

R

kiszámított értékeinek behelyettesítése után) megkapjuk a keresett fonálerőt:

\begin{matrix} K = m g \frac{ℓ}{ℓ - d} . \end{matrix}

Megjegyzés. Ha a pálya legalsó pontját elérve a fonál függőleges része ,,beleakad'' a rögzített felfüggesztésbe, akkor a test a továbbiakban egy negyedkör alakú pályán fog mozogni. Ennek sugara

\begin{matrix} R^{*} = \frac{ℓ - d}{2}, \end{matrix}

a test mozgásegyenlete

\begin{matrix} 2 K^{*} - m g = m \frac{v^{2}}{R^{*}}, \end{matrix}

ahonnan a fonálerő (a fonál beakadása után):

\begin{matrix} K^{*} = m g \frac{3 ℓ + d}{2 (ℓ - d)} . \end{matrix}

Látható, hogy a fonál beakadásakor a fonálerő (és ezzel együtt a test gyorsulása is) hirtelen, pillanatszerűen megváltozik, ezen fizikai mennyiségeket leíró függvényeknek tehát szakadása van.

Kozák András (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 10. évf.)
dolgozata alapján