Kezdőlap


Feladat:	4964. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Póta Balázs
Füzet:	2018/február, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Merev test síkmozgása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/október: 4964. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Belátható, hogy a csúszó jégkocka akkor borítható fel a legkönnyebben, ha a borulást előidéző erő a kocka egyik felső $e$ élének $P$ felezőpontjában, az $e$ élre merőleges (függőleges) síkban hat. Határesetben, valamekkora $F$ nagyságú és a vízszintessel alkalmasan választott $α$ szöget bezáró erő hatására a jégkocka még éppen nem billen meg az $e$ -vel átellenes $f$ él körül, és függőleges irányban sem gyorsul. $F$ -et bármilyen kevéssel meghaladó nagyságú erő hatására a jégkocka megbillen, a tömegközéppontja megemelkedik, és a továbbiakban ezek a mozgások egyre gyorsabban folytatódnak, tehát a jégkocka felborul (1. ábra).

1. ábra

A jégkockára ható erők (az

F

erő, az

m g

nehézségi erő és az

f

élnél ható, a talaj által kifejtett függőleges irányú

N

nyomóerő) mindegyike az

e

élre merőleges síkban hat. Tekintsük ezeket a (síkbeli) erőket a felborulás határhelyzetében (2. ábra).

2. ábra

d

oldalélű kocka

O

tömegközéppontjára felírt forgatónyomatékok összege nulla:

\begin{matrix} N \frac{d}{2} = F cos (45^{\circ} - α) \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2} d . \end{matrix}

A tömegközéppont függőleges irányú gyorsulása nulla, így

\begin{matrix} m g - N - F sin α = 0. \end{matrix}

Ezekből (

N

kiküszöbölése után) az

F

erőre

α

függvényében

\begin{matrix} F (α) = \frac{m g}{sin α + \sqrt[]{2} cos (45^{\circ} - α)} = \frac{m g}{2 sin α + cos α} \end{matrix}

adódik. Ezen kifejezés minimumát, vagyis a nevezőjének maximumát keressük.
A

2 sin α + cos α

kifejezés legnagyobb értéke

\sqrt[]{5}

, amit

α \approx 1, 1

radiánnál, vagyis kb.

63^{\circ}

-nál vesz fel¹. A szélsőértéket differenciálszámítással, trigonometrikus átalakítások felhasználásával, vagy elemi geometriai megfontolásokkal is meg lehet határozni.
A szabadon csúszó jégkocka felborításához tehát legalább

F = \frac{m g}{\sqrt[]{5}}

erő szükséges, ez a jégkocka súlyának kb. 47 százaléka.

Póta Balázs (Győr, Révai M. Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján

¹Lásd pl. http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximum+2sinx%2Bcosx.