Feladat:	B.4885	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2017/december, 541 - 542. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatóság, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/szeptember: B.4885

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A legnagyobb ilyen szám $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{77665544332211,}}\end{array}$ a legkisebb pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle 11223344556677.}\end{array}$ Két ilyen szám $1$-nél nagyobb hányadosa ezért mindig kisebb, mint $8$. Valamennyi ilyen szám jegyeinek összege $1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7=56=6\cdot 9+2$. A feladat állításával szemben tételezzük fel, hogy $k$ és $m$ hányadosa egész, azaz $k=md$, ahol $d$ is pozitív egész, és a mondottak miatt $2\le d\le 7$. Mivel $k$-nak és $m$-nek a $9$-es maradéka egyaránt $2$, a különbségük osztható $9$-cel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 9\mid k-m=md-m=m\left(d-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Itt $m$-nek a $9$-es maradéka $2$ lévén az $m$ még $3$-mal sem osztható, így $d-1$ osztható lenne $9$-cel, ami $1\le d-1\le 6$ miatt lehetetlen. A kapott ellentmondás miatt tehát $\frac{k}{m}$ valóban nem lehet egész szám.