Feladat: B.4829 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2017/december, 538. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Gömbi geometria, Konstruktív megoldási módszer, Térgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/november: B.4829

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a gömbfelületet G, középpontját O. Messük el G-t egy O-ra nem illeszkedő S síkkal, így kapjuk az S∩G=k körvonalat. Az S a G-t két részre osztja, a kisebbiket az S-hez (vagy k-hoz) tartozó gömbsapkának nevezzük (hozzáértve a gömbsapkához magát k-t is). A gömbsapkára gondolhatunk úgy is, mint a k által meghatározott körlapra a G gömbfelületen.

 
 

Legyen P∈k tetszőleges, és érintse az e⊂S egyenes a k kört P-ben. Az O és e által feszített Sf sík a G-t egy f főkörben metszi. Azt mondjuk, hogy G-n az f a k körvonal P-ben húzott érintője. Világos, hogy G-n a k-hoz annak minden pontjában pontosan egy érintőt húzhatunk.
Legyen a k kör O-ra vonatkozó tükörképe k', és vegyünk egy tetszőleges X∈G pontot, amely nem eleme sem a k-hoz, sem a k'-höz tartozó gömbsapkának. Megmutatjuk, hogy k-nak pontosan két érintője tartalmazza X-et. Messe ugyanis OX az S síkot az X' pontban. Az X-re tett feltevés miatt X' a k körön kívül van, azaz X'-ből k-hoz pontosan két érintő egyenes húzható: e1 és e2. (Ha OX∥S (ekkor az X' pont nem létezik), akkor e1 és e2 legyenek k azon érintőegyenesei S-ben, amelyek párhuzamosak OX-szel, ezekből is pontosan kettő van.) Világos, hogy az O és e1, valamint az O és e2 által feszített síkok k olyan érintő főköreit metszik ki G-ből, amelyek tartalmazzák X-et. A gondolatmenetből az is kitűnik, hogy más, X-re illeszkedő főkör nem érintheti k-t.
Most válasszunk két, k1 és k2 kört a G gömbön úgy, hogy a hozzájuk, valamint k'1 és k'2 tükörképeikhez tartozó gömbsapkák páronként diszjunktak legyenek. Tekintsük k1 és k2 összes érintő főkörét. Azt állítjuk, hogy ezek együttesen eleget tesznek a kívánalmaknak. Legyen A a gömbfelszín tetszőleges pontja. Mivel a k1, k2, k'1 és k'2 körökhöz tartozó gömbsapkák páronként diszjunktak, így A-ból k1 és k2 valamelyikéhez biztosan húzható érintő főkör, tehát az összes érintők lefedik A-t. Másrészt mind k1-hez, mind k2-höz legfeljebb 2 érintő főkör húzható A-ból, így A-t legfeljebb 4 kiválasztott főkör tartalmazza. Ezzel a konstrukció helyességét beláttuk.
 
Megjegyzések. 1. A megoldás első részében leírtak a gömbi geometria közismert állításai.
2. A következő állítás lényegében a síkbeli megfelelője a feladatnak: a sík lefedhető egyenesekkel úgy, hogy minden pontot legfeljebb 4 egyenes tartalmaz, és nincs az egyenesek között 5 darab párhuzamos. Két diszjunkt kör összes érintői itt is triviálisan megfelelnek. Ebből a feladatunk állítását megkaphatjuk: ha a síkot a gömb egyik érintősíkjának választjuk, és a síkon megadott egyeneseket a gömb középpontjából a gömbfelszínre vetítjük, egy jó konstrukciót kapunk. A technikai részletek kidolgozását az olvasóra bízzuk. (Például miért fontos, hogy ne legyen az egyenesek között 5 párhuzamos?)