Kezdőlap


Feladat:	4957. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Shirsha Bose
Füzet:	2018/január, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Nyugalmi indukció
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/szeptember: 4957. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az egyes vezetékekben folyó áramokat és a drótkeret csúcspontjait az ábrán látható módon. Legyen a mágneses indukció növekedési üteme $k = állandó$ , az $R$ ellenállású átló mentén disszipált teljesítmény pedig $P$ .

A mágneses indukció változása miatt az ábra síkjából kifelé jövő mágneses fluxus időben egyenletesen növekszik, így ‐ Lenz törvénye szerint ‐ a

C D E C

hurokban az óramutató járásával megegyező irányban

k a^{2} / 2

nagyságú körfeszültség indukálódik (

a

a négyzet oldalélének hossza). Ugyanekkora feszültség indukálódik az

E F C E

hurokban is.
A Kirchhoff-féle huroktörvény szerint

\begin{matrix} \frac{a^{2} k}{2} & = 2 I_{1} r_{1} - I_{0} R, & (1) \\ \frac{a^{2} k}{2} & = 2 I_{2} r_{2} + I_{0} R . & (2) \end{matrix}

C

pontra felírhatjuk még Kirchhoff csomóponti törvényét:

\begin{matrix} I_{0} = I_{2} - I_{1} . \end{matrix}

(3)

Az (1) és (2) egyenletekből kapjuk:

\begin{matrix} I_{1} & = \frac{I_{0} R}{2 r_{1}} + \frac{a^{2} k}{4 r_{1}}, & (4) \\ I_{2} & = \frac{a^{2} k}{4 r_{2}} - \frac{I_{0} R}{2 r_{2}}, & (5) \end{matrix}

amiből (3) felhasználásával

\begin{matrix} I_{0} = \frac{\frac{a^{2} k}{4} (\frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}})}{R (\frac{1}{2 r_{1}} + \frac{1}{2 r_{2}}) + 1} \end{matrix}

adódik.
Az

R

ellenállású vezetéken

P = I_{0}^{2} R

teljesítménnyel fejlődik hő. A leggyorsabb melegedési ütemet a

\begin{matrix} P = {(\frac{\frac{a^{2} k}{4} (\frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}})}{R (\frac{1}{2 r_{1}} + \frac{1}{2 r_{2}}) + 1})}^{2} R \end{matrix}

függvény maximuma határozza meg. Ezt a maximumot a derivált eltűnéséből (a

P' (R) = 0

feltételből), vagy a

P (R)

függvény reciprokára alkalmazott számtani-mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből kaphatjuk meg. A szélsőérték akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} R = \frac{2 r_{1} r_{2}}{r_{1} + r_{2}}, \end{matrix}

vagyis ha

R

r_{1}

és

r_{2}

ellenállásértékek harmonikus közepe.

Shirsha Bose (Kalkutta (India), South Point High School, 12. éf.)
dolgozata alapján