Kezdőlap


Feladat:	4929. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balaskó Dominik , Gnädig Péter
Füzet:	2018/január, 48 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Merev test síkmozgása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/április: 4929. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Jelöljük a $2 m$ tömeget $M$ -mel, és a két testre jellemző fizikai mennyiségeket (sebesség, gyorsulás, erő) különböztessük meg a tömegüknek megfelelő indexszel. Írjuk fel az energiamegmaradás törvényét a rúd vízszintes és függőleges helyzetének megfelelő állapotokra! (A helyzeti energiát a tengely alatt $2 L$ mélységben választjuk nullának.)

\begin{matrix} M g \cdot 2 L + m g \cdot 2 L = m g \cdot 3 L + \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} M v_{M}^{2} . \end{matrix}

(1)

A sebességeket kifejezhetjük a rúd szögsebességével:

\begin{matrix} v_{m} = L ω, v_{M} = 2 L ω, \end{matrix}

és így (1)-ből a szögsebességet, abból pedig a kerületi sebességeket is kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} 2 m g \cdot 2 L + m g \cdot 2 L = m g \cdot 3 L + \frac{1}{2} m ω^{2} L^{2} + \frac{1}{2} 2 m ω^{2} {(2 L)}^{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{2 g}{3 L}}, v_{m} = \sqrt[]{\frac{2 L g}{3}}, v_{M} = \sqrt[]{\frac{8 L g}{3}} . \end{matrix}

(2)

b)

Jelöljük a függőleges helyzetű rúd által a kis testekre kifejtett erőket

F_{m}

-mel és

F_{M}

-mel, a gyorsulásokat pedig

a_{m}

-mel és

a_{M}

-mel (lásd az 1. ábrát). Ezeket a mennyiségeket függőlegesen felfelé mutató irányban fogjuk pozitívnak tekinteni. A mozgásegyenletek:

\begin{matrix} F_{m} - m g = m a_{m}, F_{M} - M g = M a_{M} . \end{matrix}

Mivel

a_{m} = - L ω^{2}

és

a_{M} = 2 L ω^{2}

, a szögsebesség korábban kiszámított értékének felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} F_{m} = m g - m L \frac{2 g}{3 L} = \frac{1}{3} m g, illetve F_{M} = 2 m g + 2 m (2 L) \frac{2 g}{3 L} = \frac{14}{3} m g . \end{matrix}

A két test összesen

F_{m} + F_{M} = 5 m g

nagyságú, függőlegesen lefelé mutató erővel hat a rúdra (függőlegesen lefelé), és mivel a rúd tömege elhanyagolható, ugyanekkora erőt fejt ki a rúd a tengelyre.

1. ábra

c)

A rúd vízszintes helyzetében (közvetlenül az elengedése után) a nehézségi erők eredő forgatónyomatéka a tengelyre vonatkoztatva (lásd a 2. ábrát):

\begin{matrix} M_{eredő} = M_{M} - M_{m} = 2 m g \cdot (2 L) - m g L = 3 m g L . \end{matrix}

2. ábra

A forgatónyomaték hatására a rúd

\begin{matrix} β = \frac{M_{eredő}}{Θ} \end{matrix}

szöggyorsulással kezd elfordulni a tengely körül, ahol

\begin{matrix} Θ = Θ_{m} + Θ_{M} = m L^{2} + M {(2 L)}^{2} = 9 m L^{2} \end{matrix}

a rendszer teljes tehetetlenségi nyomatéka. Ezek szerint

\begin{matrix} β = \frac{g}{3 L}, továbbá a_{m} = L β = \frac{1}{3} g, a_{M} = 2 L β = \frac{2}{3} g . \end{matrix}

Balaskó Dominik (Sopron, Széchenyi I. Gimn., 10. évf.)

Megjegyzés. A rúd függőleges helyzetében a testek gyorsulása is és a rájuk ható nehézségi erő is függőleges, tehát a rúd által kifejtett erők is függőlegesek (rúdirányúak). Vízszintes helyzetnél viszont a rúd függőleges irányú erőket fejt ki a végeihez rögzített testekre, tehát a rúdban ható erő általában nem rúdirányú.

(G. P.)