Kezdőlap


Feladat:	4928. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Németh Róbert
Füzet:	2018/január, 46 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/április: 4928. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Az $m_{1}$ és $m_{2}$ tömegű testekre, valamint a $M$ tömegű kiskocsira ható (számunkra fontos) erőket az 1. ábrán tüntettük fel. Ezek az $m_{1}$ tömegű test esetében az $m_{1} g$ nehézségi erő, a $K$ kötélerő és az $M$ tömegű test által kifejtett $N$ nyomóerő. Az $m_{2}$ tömegű test függőleges irányban biztosan nem mozdul el, a vízszintes irányú mozgását pedig egyedül a $K$ kötélerő határozza meg. Az $M$ tömegű test függőleges irányban szintén nem mozdul el, így elegendő a rá ható vízszintes erőkkel foglalkoznunk. Két ilyen erő van: az $m_{1}$ tömegű testre ható $N$ erő ellenereje és a kötél által a csigára gyakorolt $\sqrt[]{2} \cdot K$ nagyságú erő, amelynek vízszintes irányú komponense éppen $K$ (2. ábra).

1. ábra

2. ábra

A testekre ható erők számításba vétele után most már felírhatjuk a mozgásegyenleteket

x

(vízszintes, balra pozitív) és

y

(függőleges, lefele pozitív) irányokban:

\begin{matrix} N & = m_{1} a_{1 x}, & (1,x) \\ m_{1} g - K & = m_{1} a_{1 y}, & (1,y) \\ K & = m_{2} a_{2}, & (2) \\ K - N & = M A . & (3) \end{matrix}

A mozgásegyenletek mellett még két kényszerfeltételt is megfogalmazhatunk. Az első feltétel abból adódik, hogy az

m_{1}

és

M

tömegű testek vízszintes gyorsulása egyenlő kell hogy legyen, hiszen az

m_{1}

tömegű test az

M

tömegű testen lévő üreg függőleges falán gurul, attól (a mozgás kezdetekor még biztosan) nem válik el. Fennáll tehát:

\begin{matrix} a_{1 x} = A . \end{matrix}

(4)

A kötél nyújhatatlansága is ad egy kényszerfeltételt: az

m_{1}

tömegű test függőleges gyorsulása és az

m_{2}

tömegű testnek a csigához viszonyított (jobb felé irányuló) vízszintes gyorsulása egyenlő nagyságú, hiszen a kötél egyik vége ugyanannyit közeledik a csigához, amennyit a másik távolodik attól. Teljesül tehát:

\begin{matrix} a_{2} + A = a_{1 y} . \end{matrix}

(5)

(1, x)

(1, y)

, (2), (3), (4), (5) egyenletrendszer megoldható, belőlük a hat ismeretlen (

a_{1 x}

a_{1 y}

a_{2}

A

F

és

N

) kifejezhető:

\begin{matrix} A = a_{1 x} = \frac{m_{1} m_{2}}{2 m_{1} m_{2} + m_{1}^{2} + M (m_{1} + m_{2})} g . \end{matrix}

(6)

A megadott tömegadatok esetén

\begin{matrix} A = a_{1 x} = \frac{1}{10} g = 0, 98 \frac{m}{s^{2}} \approx 1 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

Hasonlóan adódik, hogy

\begin{matrix} a_{2} & = \frac{m_{1} (M + m_{1})}{2 m_{1} m_{2} + m_{1}^{2} + M (m_{1} + m_{2})} g = \frac{3}{10} g = 2, 94 \frac{m}{s^{2}} \approx 3 \frac{m}{s^{2}}, \\ a_{1 y} & = \frac{m_{1} (M + m_{1} + m_{2})}{2 m_{1} m_{2} + m_{1}^{2} + M (m_{1} + m_{2})} g = \frac{4}{10} g = 3, 92 \frac{m}{s^{2}} \approx 4 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

Kiszámíthatjuk még az erőket is:

N \approx 6

N és

K \approx 1

N.
Összefoglalva: az

m_{1}

tömegű test gyorsulásvektora

\begin{matrix} a_{1} = \sqrt[]{a_{1 x}^{2} + a_{1 y}^{2}} \approx 4, 04 \frac{m}{s^{2}} \end{matrix}

nagyságú és az iránya a vízszintessel

arctg (\frac{3, 92}{0, 98}) = 76^{\circ}

-os szöget zár be (balra lefelé mutat), az

m_{2}

tömegű test gyorsulása

2, 94 \frac{m}{s^{2}}

jobbra, az

M

tömegű test pedig

0, 98 \frac{m}{s^{2}}

gyorsulással balra indul el.

b)

A (6) összefüggésből látható, hogy a kifejezésben szereplő tört mindig pozitív, így az

M

tömegű kocsi (bármilyen tömegadatok mellett) biztosan balra indul el.

M ≫ m_{1}, m_{2}

esetben a kifejezés nevezője sokkal nagyobb a számlálónál, ilyenkor az

M

tömegű test gyorsulása elhanyagolhatóan kicsi. Az

\begin{matrix} \frac{M}{m_{1}} \to \infty, \frac{M}{m_{2}} \to \infty \end{matrix}

idealizált határesetben

A = 0

, ez tehát a minimális gyorsulású eset.
A kifejezés számlálójában láthatóan csak egy tag szerepel (

m_{1} m_{2}

), ugyanezen tag pedig szerepel a nevezőben is, kétszeres szorzóval (

2 m_{1} m_{2}

). Mivel a nevező többi tagja mind pozitív, ez azt jelenti, hogy a tört értéke nem lehet nagyobb, mint

\frac{1}{2}

. Ez a maximális gyorsulású eset pedig akkor valósulhat meg, ha

m_{2} ≫ m_{1} ≫ M

, ekkor

\begin{matrix} A = \frac{1}{2 + \frac{m_{1}}{m_{2}} + \frac{M}{m_{1}} (1 + \frac{m_{1}}{m_{2}})} g \approx \frac{1}{2} g \approx 4, 9 \frac{m}{s^{2}} . \end{matrix}

Németh Róbert (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
dolgozata alapján