Kezdőlap


Feladat:	B.4877	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Olosz Adél
Füzet:	2017/november, 475 - 476. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat, Thalesz tétel és megfordítása, Háromszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/május: B.4877

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ábra jelölései szerint $A E C ∢ = A E B ∢ + B E C ∢ = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ , az $A E C ▵$ derékszögű.

Ugyanígy a

B E D ▵

is derékszögű. A derékszögű háromszögek szögeire

\begin{matrix} A C E ∢ = 90^{\circ} - α, és D B E ∢ = 90^{\circ} - β . \end{matrix}

A E D

háromszög

A E D

szöge a feltételek alapján

135^{\circ}

, így

α + β = 45^{\circ}

.
Most rajzoljuk be az

E F

szakaszt. Az

F

pont az

A E C

derékszögű háromszög átfogójának felezőpontja, egyben a Thalész-tétel miatt köréírt körének középpontja. Ebből következően az

A F E

egyenlő szárú háromszög,

A E F ∢ = α

.
Ugyanígy az

E G

behúzása után látható, hogy az

E D G

háromszög is egyenlő szárú és

G E D ∢ = β

.
A keresett

F E G ∢

az ábra és az eddigiek alapján:

\begin{matrix} F E G ∢ & = A E B ∢ + B E C ∢ + C E D ∢ - A E F ∢ - G E D ∢ = \\ = 45^{\circ} + 45^{\circ} + 45^{\circ} - α - β = 135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ} . \end{matrix}