Kezdőlap


Feladat:	B.4841	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Győrffy Ágoston
Füzet:	2017/november, 471 - 472. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/január: B.4841

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $O C B$ háromszög szabályos, ugyanis $O C = O B$ sugarak, továbbá $O C = C B$ is teljesül, mert $C$ az $O B$ szakaszfelező merőlegesének egy pontja. Tehát $B O C ∢ = 60^{\circ}$ .

A O B

háromszög egyenlő szárú, mert

A O

és

O B

a kör sugara. Legyen

O A B ∢ = O B A ∢ = α

.
A

C O A ∢

szögfelezője a szöget két egyenlő

β

szögre bontja.
Most használjuk fel, hogy az

A O B

háromszögben a belső szögek összege

180^{\circ}

\begin{matrix} O A B ∢ + O B A ∢ + A O B ∢ = 2 α + 2 β + 60^{\circ} = 180^{\circ} . \end{matrix}

Ebből azonnal adódik, hogy

α + β = 60^{\circ}

.
Egy háromszög külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, ezt az

A E O

háromszög

O E B ∢

külső szögére alkalmazva:

\begin{matrix} O E B ∢ = α + β = 60^{\circ} . \end{matrix}

Ha a

C

és

D

pontok helyét felcseréljük, a megoldás menete változatlan marad.