A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Williams Kada megoldása. Szeretnénk tehát egy olyan egész együtthatós nemkonstans homogén polinomot találni, amire , ha . (Homogénnek nevezünk egy többváltozós polinomot, ha benne minden tag fokszáma egyenlő.) Az polinom létezését szerinti indukcióval igazoljuk. Ehhez felhasználjuk az ún. Bézout-lemmát, ami szerint bármely és egész számok legnagyobb közös osztója előállítható alakban, ahol . Az esetből indulunk ki: ha , akkor a Bézout-lemma szerint alkalmas -re megfelel. Tegyük fel ezután, hogy az halmaz minden pontján , és szeretnénk az elemet hozzácsatolni. A Bézout-lemma szerint alkalmas -re. Mivel a polinom értéke minden -beli pontban , azért -re az | | homogén polinom értéke minden -beli pontban (feltesszük, hogy ), míg | |
Azt állítjuk, hogy és egymáshoz relatív prím. Valóban, ha lenne közös prímosztójuk, akkor miatt osztója lenne az valamelyik tényezőjének (). Vegyük észre, hogy ekkor a homogenitás miatt
s így -ből következik. Hasonlóan kapjuk, hogy . Ez viszont ellentmond annak, hogy és relatív prím. Ha , akkor a relatív prímség miatt az Euler‐Fermat-tétel szerint, így pl. választással alkalmas -re biztosítható. Ha pedig , akkor a -hoz való relatív prímség miatt , s így és megfelel. Tehát minden esetben biztosítottuk, hogy is teljesüljön. Tehát az indukciós lépést befejeztük, az indukció teljes.
Megjegyzés. A feladat általánosítása volt a 2017. szeptemberi számban megjelent A. 703. feladat. Egy további megoldási módszer olvasható a címen.
|