Feladat:	2017. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna
Füzet:	2017/november, 450 - 451. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Síkgeometriai bizonyítások, Kör geometriája, Körülírt kör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/szeptember: 2017. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Baran Zsuzsanna megoldása. Először is tegyük teljesebbé az ábrát a ,,másik metszéspontok'' felvételével: legyen $l\cap \Gamma =\left\{A\mathrm{,}{A}_2\right\}$ és legyen $A_{2}J\cap \Omega =\left\{J\mathrm{,}{K}_2\right\}$. A megoldás során a szögeket irányítva értelmezzük. A megoldás sok-sok hasonló háromszögpár észrevételén fog alapulni: az $SAK▵\sim S{A}_2{K}_2▵$, a $SA{A}_2▵\sim SK{K}_2▵$, a $RSK▵\sim A_{2}SR▵$, illetve az $SKT▵\sim ST{A}_2▵$ hasonlóságokat fogjuk sorra belátni. [Ezen a ponton érdemes lehet megpróbálni egyénileg befejezni a megoldást.] $J{K}_{2}S\sphericalangle =JKS\sphericalangle$ és $S{A}_{2}J\sphericalangle =SAJ\sphericalangle$ (azonos íven nyugvó kerületi szögek), ezért $SAK▵$ és $S{A}_2{K}_2▵$ szögei megegyeznek, így $SAK▵\sim S{A}_2{K}_2▵$.     Ekkor $\frac{SA}{S{A}_2}=\frac{SK}{S{K}_2}$, továbbá $AS{A}_2\sphericalangle =KS{K}_2\sphericalangle$ (hiszen mindkettő $K_{2}S{A}_2\sphericalangle -K_{2}SA\sphericalangle =KSA\sphericalangle -K_{2}SA\sphericalangle$), emiatt $SA{A}_2▵\sim SK{K}_2▵$. Ekkor $A{A}_{2}S\sphericalangle =K{K}_{2}S\sphericalangle =KRS\sphericalangle$. Az $RA$ érinti $\Omega$-t (és $RS$ elválasztja $A$-t és $K$-t), ezért $ARS\sphericalangle =RKS\sphericalangle$. Így az $RSK▵$ és $A_{2}SR▵$ szögei megegyeznek, ezért $RSK▵\sim A_{2}SR▵$. $TSK\sphericalangle ={180}^{\circ }-KSR\sphericalangle ={180}^{\circ }-RS{A}_2\sphericalangle =A_{2}ST$, továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{ST}{KS}=\frac{SR}{KS}=\frac{S{A}_2}{RS}=\frac{S{A}_2}{TS}}\end{array}$ (itt kihasználtuk, hogy $S$ az $RT$ szakasz felezőpontja), így $SKT▵\sim ST{A}_2▵$. Ez utóbbi hasonlóságból következik, hogy $STK\sphericalangle =S{A}_{2}T\sphericalangle$, ami éppen azt jelenti, hogy $KT$ érinti a $\Gamma$ kört. Készen vagyunk.   Erre a feladatra sokféle megoldás elképzelhető. Két további megoldási lehetőség címszavakban: (1) Belátjuk, hogy $AT\parallel RK$, majd pedig, hogy $ARXT$ paralelogramma, melyben $S$ az átlók felezőpontja. Itt $X$ a $KST$ kör és az $RK$ egyenes másik metszéspontja. (2) Invertálunk $R$ középponttal, $RS$ sugárral. Belátjuk, hogy a $KT$ egyenes képe és $\Gamma$ képe egymás tükörképei $T\text{'}$-re nézve. Ehhez belátjuk, hogy $RK\text{'}S{A}_2\text{'}$ paralelogramma. Az $RK\text{'}$ és $A_2\text{'}S$ párhuzamossága kijön $RK$ és $AT$ párhuzamosságából.