Kezdőlap


Feladat:	4911. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Póta Balázs
Füzet:	2017/november, 505 - 506. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Merev testek mechanikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: 4911. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a keresett tehetetlenségi nyomaték $Θ$ . Húzzuk be a középvonalakat a háromszögben, amik így 4 egybevágó kis háromszögre bontják a nagy háromszöget. A kis háromszögek a nagyhoz hasonlóak, a hasonlóság aránya $1 : 2$ .

A kis háromszögek tömege

\frac{1}{4} m

, lineáris méretük fele a nagy háromszög méreteinek, így a kis háromszögek mindegyikének tehetetlenségi nyomatéka a saját súlypontukon átmenő tengelyre vonatkoztatva

\frac{1}{16} Θ

.
A kis háromszögek tömegközéppontja a nagy háromszög tömegközéppontjától

\frac{1}{3} s_{a}

\frac{1}{3} s_{b}

és

\frac{1}{3} s_{c}

távolságra van, ahol

s_{a}

s_{b}

és

s_{c}

a nagy háromszög súlyvonalai.
A Steiner-tételt alkalmazva adjuk össze a négy kis háromszögnek a nagy háromszög súlypontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát, így megkapjuk a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát.

\begin{matrix} \frac{1}{16} Θ + (\frac{1}{16} Θ + \frac{m}{4} {(\frac{s_{a}}{3})}^{2}) + (\frac{1}{16} Θ + \frac{m}{4} {(\frac{s_{b}}{3})}^{2}) + (\frac{1}{16} Θ + \frac{m}{4} {(\frac{s_{c}}{3})}^{2}) = Θ, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} Θ = \frac{m}{27} (s_{a}^{2} + s_{b}^{2} + s_{c}^{2}) . \end{matrix}

Egy háromszög

a

oldalához tartozó súlyvonalának hossza a paralelogrammatételből adódóan

\begin{matrix} s_{a}^{2} = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{2}, \end{matrix}

és hasonlóan kapható meg a többi súlyvonal hossza is. Ezt a fentebb kapott képletbe helyettesítve a háromszöglap tehetetlenségi nyomatékára végül a

\begin{matrix} Θ = \frac{m}{36} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

eredményt kapjuk.

Megjegyzés. Hasonló gondolatmenettel kapható meg több más síklemez, illetve homogén test tehetetlenségi nyomatéka is. Egy

a

és

b

oldalélű paralelogramma-lemezre például

Θ = \frac{1}{12} m (a^{2} + b^{2})

. Ez az eredmény független a paralelogramma szögétől, emiatt egy téglalap alakú lemezre is érvényes.