Feladat:	4908. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Markó Gábor
Füzet:	2017/november, 504 - 505. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb kényszermozgás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: 4908. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladat ábráján látható helyzetben a test sebessége az energiamegmaradás $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\ell \left(1-\text{cos}\alpha \right)=\frac{m{v}^2}{2}}\end{array}$ törvénye szerint $v=\sqrt[]{2g\ell \left(1-\text{cos}\alpha \right)}$, így a test centripetális gyorsulása $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{\text{cp}}=\frac{v^2}{\ell }=2g\left(1-\text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az érintőirányú (tangenciális) gyorsulást a nehézségi erő érintőirányú komponense ($mg\text{sin}\alpha$) ,,hozza létre'', hiszen az elhanyagolható tömegű rúd csak rúdirányú erőt tud kifejteni. A tangenciális gyorsulás nagysága $a_{\text{t}}=g\text{sin}\alpha$. A kétféle gyorsulás nagysága akkor egyezik meg, ha fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =2\left(1-\text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ Négyzetre emelés után kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\text{cos}{}^2\alpha =4-8\text{cos}\alpha +4\text{cos}{}^2\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ vagyis az $x=\text{cos}\alpha$ ismeretlenre az $\begin{array}{c}{\displaystyle 5x^2-8x+3=0}\end{array}$ másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai: $x_1=0$, vagyis ${\alpha }_1=0$ (ez a függőleges instabil egyensúlyi helyzetnek felel meg, ahol $a_{\text{t}}=a_{\text{cp}}=0$), a másik gyök pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle x_2=\frac{3}{5}\mathrm{,}\text{azaz}{\alpha }_2\approx 53\mathrm{,}{13}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Kezdetben a test nyilván nyomja a rudat, a rúd pedig ,,nyomja'' felfelé a testet. A későbbiekben ez az erő egyre csökken, és valamekkora ${\alpha }_0$ szögnél nullává válik, majd húzóerőbe vált át. A határesetet az jellemzi, hogy a centripetális erő éppen egyenlő a nehézségi erő rúdirányú komponensével, vagyis a centripetális gyorsulás megegyezik a nehézségi gyorsulás rúdirányú összetevőjével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v^2}{\ell }=2g\left(1-\text{cos}{\alpha }_0\right)=g\text{cos}{\alpha }_0\mathrm{,}\text{vagyis}\text{cos}{\alpha }_0=\frac{2}{3}\mathrm{,}{\alpha }_0\approx 48\mathrm{,}{2}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Ennél kisebb $\alpha$ szögeknél a rúd (ferdén felfelé) nyomja a pontszerű testet, nagyobb szögeknél pedig (ferdén lefelé) húzza azt. Mivel a korábban kiszámított szögekre ${\alpha }_2>{\alpha }_0$ teljesül, amikor a centripetális gyorsulás nagysága megegyezik az érintőirányú gyorsulással, a rúd már húzza a pontszerű testet.