Kezdőlap


Feladat:	4907. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bukor Benedek
Füzet:	2017/november, 503 - 504. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb körfolyamatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: 4907. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A$ körfolyamatban a hőerőgép $η_{A}$ hatásfoka a gáz által végzett

\begin{matrix} W_{A} = (p_{2} - p_{1}) (V_{x} - V_{1}) \end{matrix}

hasznos munka és a gáz által felvett hő hányadosa. Hőfelvétel egyrészt az állandó

V_{1}

térfogaton végbemenő izochor állapotváltozáskor történik, ennek nagysága

\begin{matrix} Q_{1} = \frac{f}{2} V_{1} (p_{2} - p_{1}), \end{matrix}

másrészt a

p_{2}

nyomáson végbemenő izobár táguláskor, amikor a felvett hő

\begin{matrix} Q_{2} = \frac{f + 2}{2} p_{2} (V_{x} - V_{1}) . \end{matrix}

(A fenti képletekben felhasználtuk, hogy az

f

szabadsági fokú gáz belső energiája

E = (f / 2) p V

, és a hőfelvétel

Q = Δ E + p Δ V

.) A körfolyamat hatásfoka tehát

\begin{matrix} η_{A} = \frac{W_{A}}{Q_{1} + Q_{2}} = \frac{(p_{2} - p_{1}) (V_{x} - V_{1})}{\frac{f}{2} V_{1} (p_{2} - p_{1}) + \frac{f + 2}{2} p_{2} (V_{x} - V_{1})} . \end{matrix}

Hasonló módon számíthatjuk ki a

B

körfolyamat hatásfokát is. Itt a hőfelvétel a

V_{x}

térfogaton végbemenő izochor állapotváltozáskor

\begin{matrix} Q_{3} = \frac{f}{2} V_{x} (p_{2} - p_{1}), \end{matrix}

illetve az izobár táguláskor felvett

\begin{matrix} Q_{4} = \frac{f + 2}{2} p_{2} (V_{2} - V_{x}) \end{matrix}

összege, a hasznos munka pedig

\begin{matrix} W_{B} = (p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{x}) . \end{matrix}

A hatásfok ennek megfelelően

\begin{matrix} η_{B} = \frac{W_{B}}{Q_{3} + Q_{4}} = \frac{(p_{2} - p_{1}) (V_{2} - V_{x})}{\frac{f}{2} V_{x} (p_{2} - p_{1}) + \frac{f + 2}{2} p_{2} (V_{2} - V_{x})} . \end{matrix}

Ha a két körfolyamat hatásfoka megegyezik, akkor nyilván

\begin{matrix} \frac{1}{η_{A}} = \frac{1}{η_{B}} \end{matrix}

is fennáll. A hatásfokok fentebb kiszámított kifejezéseit behelyettesítve:

\begin{matrix} \frac{f}{2} \frac{V_{1}}{V_{x} - V_{1}} + \frac{f + 2}{2} \frac{p_{2}}{p_{2} - p_{1}} = \frac{f}{2} \frac{V_{x}}{V_{2} - V_{x}} + \frac{f + 2}{2} \frac{p_{2}}{p_{2} - p_{1}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{x} - V_{1}} & = \frac{V_{x}}{V_{2} - V_{x}}, \\ V_{1} V_{1} - V_{1} V_{x} & = V_{x}^{2} - V_{1} V_{x}, \end{matrix}

vagyis

V_{x} = \sqrt[]{V_{1} V_{2}}

következik.
A keresett

V_{x}

érték tehát a

V_{1}

és

V_{2}

térfogatértékek mértani közepe.

Megjegyzés. Érdekes, hogy a kapott eredmény sem a nyomások nagyságától, sem pedig a gáz minőségére jellemző

f

-től nem függ.