Feladat:	4900. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fajszi Bulcsú
Füzet:	2017/november, 499. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbtükör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/január: 4900. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Nevezzük a felső tükröt F tükörnek, az alsó tükröt A tükörnek. A tárgyból kiinduló fénysugarak az F, majd az A tükörről visszaverődve az F tükör közepén hoznak létre képet. Ez a kép csak valódi lehet, mert az A tükörről visszaverődő (ez már a 2. visszaverődés!) fénysugarak nyilván elérik az F tükröt, és csak akkor jöhet létre kép ezen tükör középpontjában, ha a fénysugarak valóban metszik egymást. A két tükör közepének távolságát nevezzük $d$-nek, a fókusztávolságukat pedig jelöljük $f$-fel. Az F tükörre tükrözéskor a tárgytávolság $d$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{k_1}+\frac{1}{d}=\frac{1}{f}\mathrm{,}}\end{array}$ innen az első képtávolság, vagyis az A tükör távolsága a létrejövő képtől $\begin{array}{c}{\displaystyle k_1=\frac{fd}{d-f}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ez nullánál kisebb, vagy $d$-nél nagyobb, akkor az első tükröződés után nem jön így létre valódi kép, de ez nem befolyásolja a további számolás érvényességét. A második, az A tükör által létrehozott képalkotásnál a tárgytávolság $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=d-k_1=\frac{2df-d^2}{f-d}\mathrm{,}}\end{array}$ a képtávolság pedig $k_2=d$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{t_2}+\frac{1}{d}=\frac{1}{f}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $t_2$ behelyettesítése és algabrai átalakítások után a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0=d^2-4fd+3f^2=\left(d-f\right)\left(d-3f\right)}\end{array}$ másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai: $d=f$ és $d=3f$. $d=3f$ esetén az első tükrözés fordított állású, felére kicsinyített képet eredményez a két tükör között félúton ($k_1=\frac{3}{2}f=\frac{1}{2}d$). A második tükröződés visszafordítja és kétszeresére növeli a képet. Végeredményben a létrejövő kép valódi, egyenes állású és a tárggyal megegyező méretű lesz. $d=f$ esetén is létrejöhet kép, hiszen az elsőként az F tükörről visszaverődő fénysugarak párhuzamosak lesznek, és a párhuzamos fénysugarakat az A homorú tükör a saját fókuszpontjába gyűjti, ami az F tükör középpontja. A keletkező kép valódi, a tárggyal azonos méretű, de az előző esettől eltérően fordított állású lesz.