Feladat:	4897. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagy Botond
Füzet:	2017/november, 497 - 498. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Bernoulli-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/január: 4897. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük az edény belsejének keresztmetszetét $A$-val, a csap keresztmetszetét $A_0$-lal, a vízfelszín folyamatosan változó nagyságú sebességét $v$-vel, a csapból kiáramló víz sebességét pedig $V$-vel. Írjuk fel a Bernoulli-törvényt a $h$ magasságú vízoszlop felszínét és a csapot összekötő valamelyik áramvonalra (1. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\varrho v^2+p_0+\varrho gh=\frac{1}{2}\varrho V^2+p_0\mathrm{.}}\end{array}$ ($p_0$ a külső légnyomás, $\varrho$ a víz sűrűsége.) Felhasználhatjuk még a kontinuitási egyenletet (az anyagmegmaradás törvényét) is: $\begin{array}{c}{\displaystyle V{A}_0=vA\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen két összefüggés meghatározza a folyadék felszínének süllyedési sebességét: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(h\right)=\sqrt[]{\frac{A_0^2}{A^2-A_0^2}2gh}\mathrm{,}}\end{array}$ amit $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(h\right)=\sqrt[]{2g\text{'}h}}\end{array}$ alakban is felírhatunk, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle g\text{'}=\frac{A_0}{\sqrt[]{A^2-A_0^2}}g=\text{állandó}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy a folyadék felszínének süllyedési sebessége a magasság négyzetgyökével arányos.   1. ábra   Legyen a folyadékfelszín kezdeti magassága az edény aljához képest $H$. Vizsgáljuk meg egy pontszerű test mozgását egy olyan gravitációs mezőben, amelyben a ,,nehézségi gyorsulás'' nagysága $g\text{'}$, iránya pedig ellentétes $g$-vel (2. ábra). Induljon a test $v_0=\sqrt[]{2g\text{'}H}$ kezdősebességgel a kezdeti vízszint magasságától az edény alja felé. A munkatétel szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2=-mg\text{'}\left(H-h\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a test $h$ magassághoz tartozó sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(h\right)=\sqrt[]{2g\text{'}h}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel tetszőleges $h$ magasságban a folyadékfelszín és a kis test sebessége a $g\text{'}$ gravitációjú térben megegyezik, ezért ha képzeletben egymás mellé helyezzük őket úgy, hogy a vízre csak a szokásos $g$ gravitációjú tér hasson lefelé, a kis testre pedig csak a $g\text{'}$ felfelé, akkor a kis test és a vízfelszín (egyenletesen lassuló mozgással) mindvégig egymás mellett marad, egyformán süllyed lefelé.   2. ábra   A vízfelszín süllyedési sebessége az idő függvényében a kis test sebességével egyezik meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(t\right)=v_0-g\text{'}t\mathrm{.}}\end{array}$ Amikor a víz fele kifolyik, a kis test $H/2$ magasságba ér, a sebessége tehát $v_1=\sqrt[]{g\text{'}H}$ lesz. Mivel ez $T$ idő alatt következik be, $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=v_0-g\text{'}T\mathrm{,}\text{ahonnan}T=\frac{v_0-v_1}{g\text{'}}=\left(\sqrt[]{2}-1\right)\sqrt[]{\frac{H}{g\text{'}}}\mathrm{.}}\end{array}$ A teljes kiürülés $T_0$ idejekor a kis test sebessége nulla, vagyis $v_0-g\text{'}{T}_0=0$, ahonnan a keresett időtartam: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_0=\frac{v_0}{g\text{'}}=\sqrt[]{2}\sqrt[]{\frac{H}{g\text{'}}}=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}-1}T\approx 3\mathrm{,}4T\mathrm{.}}\end{array}$