Feladat:	4882. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bukor Benedek
Füzet:	2017/november, 494 - 495. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Atomreaktor, Tökéletesen rugalmas ütközések
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/november: 4882. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A neutron kezdeti mozgási energiája $E_0=1\text{MeV}=1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-13}$ J, tömege (táblázatba foglalt érték): $m_{\text{n}}=1\mathrm{,}67\cdot {10}^{-27}$ kg. $\begin{array}{c}{\displaystyle E_0=\frac{1}{2}{m}_{\text{n}}{v}_0^2\mathrm{,}{v}_0=\sqrt[]{\frac{2E_0}{m_{\text{n}}}}\approx 1\mathrm{,}4\cdot {10}^4\frac{\text{km}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$ A neutron kezdeti mozgási energiája sokkal kisebb, mint a nyugalmi energiája (ami kb. 1 GeV), ezért jogosan használtuk a mozgási energia klasszikus (nemrelativisztikus) képletét. A gyorsan mozgó neutron rugalmasan ütközik egy álló ${}_1^2$H deutérium-atommaggal (deuteronnal), amelynek tömege $m_{\text{H}}\approx 2m_{\text{n}}$. Felírhatjuk az ütközésre a lendület és a mechanikai energia megmaradásának törvényét: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle m_{\text{n}}{v}_0}& {\displaystyle =m_{\text{n}}{v}_1+m_{\text{H}}{u}_1\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{2}{m}_{\text{n}}{v}_0^2}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{m}_{\text{n}}{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_{\text{H}}{u}_1^2\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ ahol $v_1$ a neutron, $u_1$ pedig a deuteron sebessége az ütközés után. Az (1) egyenletből kifejezhetjük $u_1$-et, és azt (2)-be behelyettesíthetjük. A tömegek ismert arányát is felhasználva algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 0=\left(3v_1+v_0\right)\left(v_1-v_0\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A $v_1=v_0$ (és az ezzel járó $u_1=0$) ,,megoldás'' annak felel meg, hogy nem is történik ütközés, ezt a lehetőséget elvethetjük. Ha a neutron ténylegesen ütközik a deuteronnal, akkor $v_1=-\frac{1}{3}{v}_0$, tehát egyharmad részére csökken a neutron sebességének nagysága. Ez minden további ütközésnél megismétlődik (hacsak nem a már korábban meglökött deuteronnal ütközik a neutron; ennek lehetőségét nem vesszük számításba). Ilyen körülmények között minden ütközésnél harmadolódik a neutron sebessége, és $N$ ütközés után $\begin{array}{c}{\displaystyle v_N=\frac{v_0}{3^N}}\end{array}$ lesz a sebesség nagysága. Innen kiszámíthatjuk a neutronok lelassításához szükséges ütközések számát: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\frac{\text{log}\left(v_0/v_N\right)}{\text{log}3}\approx 8.}\end{array}$ $b)$ Termikus energiaszinten a neutronok mozgási energiája $\begin{array}{c}{\displaystyle E_T=\frac{1}{2}{m}_{\text{n}}{v}_N^2\approx 4\cdot {10}^{-21}\text{J. }}\end{array}$ Ha a neutronokat $f=3$ szabadsági fokú, $T$ hőmérsékletű gáznak tekintjük, akkor az egyes részecskékre jutó átlagos mozgási energia $\begin{array}{c}{\displaystyle E_T=\frac{3}{2}kT}\end{array}$ összefüggéséből a neutrongáz hőmérsékletére $T\approx 195$ K-t kapunk. Ez nagyságrendileg megegyezik a 300 K-es szobahőmérséklettel; éppen ezért nevezik az ilyen mértékben lelassított részecskéket termikus neutronoknak.