A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Matolcsi Dávid megoldása. Ha , akkor -nál ezt kapjuk: | | Ebben az esetben minden -re. Ez valóban megoldása a függvényegyenletnek. Most nézzük azt az esetet, amikor . Ha és , akkor | |
Tegyük fel, hogy és . Ha , akkor , azaz , ezért , így . Legyen és . Ekkor . Mivel , , ez viszont ellentmond az elején kikötött feltételnek. Azt kaptuk, hogy esetén , így , ezért , továbbá vagy . Világos, hogy akkor és csak akkor megoldása a függvényegyenletnek, ha is megoldása (mindkét oldal előjele megfordul). Ezért az általánosság sérelme nélkül feltehetjük, hogy . Helyettesítsünk most az egyenletbe -et:
Ebből következik, hogy egészekre . Megmutatjuk, hogy injektív. Tegyük fel, hogy nem az, vagyis létezik olyan , hogy . Legyen egy -nál nagyobb egész, és legyen és , ahol tudjuk, hogy negatív. Ha , akkor . Az másodfokú egyenlet diszkriminánsa , ami pozitív (mivel negatív), ezért az egyenletnek két gyöke van, és . A Viéte-formulákból tudjuk, hogy és ; így és választással . Az egyenletből kivonható : , , amiből , azaz . Feltehető, hogy , ekkor és , tehát , ezzel ellentmondásra jutottunk; a függvény valóban injektív. Legyen . Ekkor , Az injektivitás miatt . Legyen most . Ekkor , . Az injektivitás miatt , ezért . Másrészt | | Így minden -re. Ez valóban jó megoldás: . Ez volt a megoldás, amikor , és ennek az ellentettje, a megoldás, amikor . Tehát a függvényegyenletnek három megoldása van: , és . |