A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Gáspár Attila megoldása.
1. állítás: Ha , akkor a sorozat tartalmazza a -at.
Bizonyítsunk szerinti teljes indukcióval. Ha , akkor az állítás triviális. Ha , akkor , és , ezért az állítás igaz. A továbbiakban feltételezhetjük, hogy . Látható, hogy az számtani sorozatban van az első négyzetszám a sorozatból. A sorozat összes eleme 3-mal osztható, ezért ez a négyzetszám alakú. Végtelen sok 3-mal osztható négyzetszám van, ezért a sorozat tartalmaz négyzetszámot. A nem szerepel a sorozatban, ezért . Az szerepel a sorozatban, ezért az is szerepel. , ezért az indukciós feltevés miatt az állítás igaz. Látható, hogy ha , akkor , és . Ha , akkor az 1. állítás miatt a 3 végtelen sokszor szerepel a sorozatban.
2. állítás: Ha , akkor a sorozat tartalmaz alakú számot.
Bizonyítsunk szerinti teljes indukcióval. Ha , akkor , és . Ebből látható, hogy az állítás esetén is igaz. A továbbiakban feltételezhetjük, hogy . Látható, hogy az számtani sorozatban van az első négyzetszám a sorozatból. Ilyen biztosan van, mert végtelen sok alakú négyzetszám van. Legyen ez a négyzetszám . Az szerepel a sorozatban, ezért az is szerepel. Ha alakú, akkor az állítás igaz. Ha alakú, akkor a nem szerepel a sorozatban, ezért . Az indukciós feltevés miatt az állítás igaz.
3. állítás: Ha , akkor a sorozat szigorúan monoton növekvő.
Egy négyzetszám nem lehet alakú. Így az sorozat nem tartalmaz négyzetszámot. Ekkor , , , . Ezzel az állítást igazoltuk. Látható, hogy ha nem osztható 3-mal, akkor a 2. és 3. állítás miatt a sorozat egy idő után szigorúan monoton növekvő. Így nincs olyan , amit végtelen sokszor tartalmaz. Tehát pontosan akkor van olyan , amit végtelen sokszor tartalmaz a sorozat, ha . |