A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat többféle módszerrel is megoldható. Az alább bemutatott eljárások közül kettő fizikai (optikai, illetve hangtani) megfontolásokra épül, a harmadik a differenciálszámítás matematikai apparátusának felhasználásával jut el a végeredményig. (A három különböző gondolatmenetű megoldás jelöléseit úgy változtattuk meg, hogy az eredmények egymással könnyen összehasonlíthatóak legyenek. ‐ A Szerk.)
I. megoldás. Oldjuk meg a feladatot fizikai eszközökkel! Használjuk a fényterjedést leíró Fermat-elvet: a fény két pont között olyan útvonalon terjed, amely mentén a fényterjedés ideje a szomszédos (a tényleges útvonaltól csak kicsit eltérő) útvonalak idejéhez képest a lehető legkisebb. Tegyük fel, hogy az ösvény -vel átellenes felén mindenhol sebességgel haladhatunk, és az pont az ösvénytől egy ,,hajszálnyi'' távolságra, de már az ösvény túloldalán helyezkedik el. (Ez érdemben nem módosítja a feladatot, hiszen ha már egyszer elértük az ösvényt, azon nyilván gyorsan és egyenesen érdemes haladjunk, nem pedig a túloldali erdőben görbe útvonal mentén és lassabban.) Ebben az új megfogalmazásban a probléma a következő kérdéssel egyenértékű: Miként juthat el a fény egy optikailag sűrűbb közeg pontjából az optikailag ritkább közeg pontjába, ha a két közeget egy sík felület választja el egymástól és a relatív törésmutató (a fénysebességek aránya) ? A pontból kiinduló fénysugarak a két közeg határán megtörnek, illetve visszaverődnek. Ha a törésmutató ,,elegendően nagy'', akkor a törési törvény szerint lesz egy olyan fénysugár, amelynek törési szöge , vagyis amelyik fénysugár a két közeg határán (az ösvény mentén) halad tovább és jut el az pontig (1a. ábra). Ezen fénysugár beesési szöge az ábra jelöléseit használva éppen , így a Snellius‐Descartes-törvény szerint | | A közeghatárt a ponttól balra elérő fénysugarak átjutnak az optikailag ritkább közegbe, a -től jobbra érkező fénysugarak pedig teljes visszaverődést szenvednek. Az ábrán látható szög nyilván nagyobb, mint , tehát a megadott és adatok között fenn kell álljon a egyenlőtlenség; ez adja meg az ,,elegendően nagy törésmutató'' kifejezés pontos jelentését.
1a. ábra Amennyiben a törésmutató nem túl nagy (vagyis ), a -ből kiinduló fénysugarak egyike törésmentesen, mindvégig az optikailag sűrűbb közegben haladva jut el az pontig (1b. ábra). Ilyen körülmények között az eredeti feladat megoldása: érdemes mindvégig az erdőben maradnunk, és ott egyenes úton haladva juthatunk el leghamarabb a pontból az pontig.
1b. ábra
II. megoldás. Ha a pontból valamilyen úton haladva a legrövidebb idő alatt jutunk az pontba, akkor nyilván ugyanezen az útvonalon juthatunk leghamarabb az pontból a pontba. Vizsgáljuk a továbbiakban ezt a ,,megfordított'' problémát! Képzeljük el, hogy az pontból indulva egy hangforrás mozog az ösvény mentén sebességgel, miközben folyamatosan olyan hanghullámokat kelt, amelyek sebességgel terjednek az erdőben . Hol helyezkednek el azok a pontok, amelyeket a hanghullámok elérnek a hullámforrás indulásától számított idő alatt? A különböző helyekről különböző időpillanatokban kiinduló gömbhullámok egy kúpot (az ún. Mach-kúpot) jelölnek ki (2a. ábra). A kúp csúcsa sebességgel mozog, a kúp félnyílásszöge a kúp alkotói pedig sebességgel mozogva távolodnak a szimmetriatengelytől (vagyis az ösvénytől). A szög (az ún. Mach-szög) egyértelműen meghatározható, hiszen a feladat szövege szerint .
2a. ábra Az idő múltával lesz egy olyan pillanat, amikor az egyre táguló kúp alkotója (vagyis a hullámfront) eléri a pontot (2b. ábra). Tekintsük a ponton átmenő, a hullámfrontra merőleges egyenes és az ösvény metszéspontját. Ezen pontból kiinduló hullám éri el leghamarabb a pontot, tehát ezen a ponton vezet át az eredeti feladat megoldása, a legrövidebb idejű útvonal is. Ezek szerint | |
2b. ábra Természetesen (az ábrán választott mozgásirány esetén) a pont nem lehet -tól jobbra, vagyis . Emiatt a fentebb leírt megoldás csak teljesülése esetén helyes. A határesetben , vagyis a pont egybeesik -val. Ilyenkor a legrövidebb idő, ami alatt eljuthatunk -ból -be (vagy -ből -ba) olyan útnak felel meg, amely mindvégig az erdőben halad. Vajon melyik útvonalon haladó hullám éri el leghamarabb a pontot, ha ? Ebben az esetben nem a Mach-kúp hullámfrontja, hanem az pontból kiinduló gömbhullám éri el elsőként a pontot (2c. ábra), vagyis a legrövidebb idejű mozgás mindvégig az erdőben halad.
2c. ábra
III. megoldás. Jelöljük az és pont távolságát -lel, azt a pontot pedig, ahol elérjük az ösvényt, -vel (3. ábra). Az és , valamint a és pontok között nyilván egyenes utat érdemes választanunk. Az erdőben megtett út irányát a iránytól mért szöggel, vagy az ösvény irányához viszonyított szöggel jellemezhetjük.
3. ábra Az erdőben megtett út hossza (a szinusztétel alapján) , az ösvényen megtett út hossza pedig . A teljes menetidő a szög függvényében: | | A függvény (számunkra érdekes) értelmezési tartománya , hiszen nyilván nem éri meg az ösvényt (az ábrán vázolt elrendezés esetén) az ponttól jobbra, vagy a -hez legközelebbi ponttól balra elérni. A menetidő minimumát a függvény deriváltjának eltűnése határozhatja meg. Ha létezik olyan szög az értelmezési tartomány belsejében, ahol
ott a haladási időnek szélsőértéke (esetünkben minimuma) lehet. Mivel sem , sem pedig nem lehet nulla, a derivált csak akkor válhat nullává, ha | | Mivel , vagyis , a derivált nullává válásának feltétele csak esetben teljesülhet. Amennyiben áll fenn, a függvény monoton növekszik, így a legrövidebb idő a szöghöz tartozik. Ilyen esetben (vagyis amikor az ösvényen haladás sebessége nem ,,elég nagy'') érdemes mindvégig az erdőben haladjunk, egyenes vonalban -től az pontig. |