Áprilisi feladat dekódolása nem sikerült.
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.
Megoldás. Az ütközések közötti időszakokban a gyöngyszemek (amelyeket az egyszerűség kedvéért pontszerűnek tekintünk) egyenes vonalú egyenletes mozgással mozognak. Tudjuk továbbá, hogy azonos tömegű testek rugalmas ütközésekor a testek sebessége ,,felcserélődik''. Ábrázoljuk a gyöngyszemek mozgását és ütközését egyetlen út‐idő diagramon! Az ütközésmentes időszakokban mindegyik gyöngyszem mozgása egy-egy egyenessel adható meg. Ezek az egyenesek (a gyöngyszemek ,,világvonalai'') az ütközések után is ,,törésmentesen'' folytatódnak, csak az ütközések résztvevői szerepet cserélnek. Az ütközések számát a gyöngyszemek mozgását megadó egyenesek metszéspontjainak száma adja meg (1. ábra). (Az ábrán látható számok a gyöngyszemek azonosítását segítik.) Az ütközések (metszéspontok) száma legfeljebb lehet.
![](upload/abr88/ab88251.png) 1. ábra Természetesen előfordulhat, hogy valamelyik két egyenes párhuzamos, ezeknek nincsen metszéspontja, illetve az is lehet, hogy két egyenes metszéspontja az indításnál korábbi időpontot jelöl ki (2. ábra). Ezekben az esetekben a ténylegesen bekövetkező ütközések száma kevesebb, mint .
![](upload/abr88/ab88255.png) 2. ábra A lejtős rúdon súrlódásmentesen csúszó, tehát egyenletesen gyorsuló gyöngyszemek mindegyikének világvonala parabola. Ezen parabolák metszéspontjainak összeszámlálása az előzőnél sokkal bonyolultabb feladatnak látszik, de ‐ szerencsére ‐ nem ez a helyzet. A gyöngyszemek gyorsulását a rúd hajlásszöge határozza meg (). Üljünk bele ‐ gondolatban ‐ egy olyan koordináta-rendszerbe, amely éppen gyorsulással mozog a rúddal párhuzamosan. Ebből a rendszerből szemlélve a gyöngyszemek ,,súlytalanok'', mozgásuk tehát ugyanolyan egyenes vonalú, egyenletes mozgás, mint amilyen a vízszintes rúdnál volt. Emiatt az ütközések száma most is legfeljebb lehet. A KöMaL 2017. évi áprilisi számában megjelent, pontversenyen kívüli feladat. |
|