Feladat:	Áprilisi	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	(G. P.)
Füzet:	2017/szeptember, 374 - 375. oldal		PDF  |  MathML
Hivatkozás(ok):	Feladatok: Áprilisi feladat dekódolása nem sikerült. 2017/április: Áprilisi

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   Megoldás. $a)$ Az ütközések közötti időszakokban a gyöngyszemek (amelyeket az egyszerűség kedvéért pontszerűnek tekintünk) egyenes vonalú egyenletes mozgással mozognak. Tudjuk továbbá, hogy azonos tömegű testek rugalmas ütközésekor a testek sebessége ,,felcserélődik''. Ábrázoljuk a gyöngyszemek mozgását és ütközését egyetlen út‐idő diagramon! Az ütközésmentes időszakokban mindegyik gyöngyszem mozgása egy-egy egyenessel adható meg. Ezek az egyenesek (a gyöngyszemek ,,világvonalai'') az ütközések után is ,,törésmentesen'' folytatódnak, csak az ütközések résztvevői szerepet cserélnek. Az ütközések számát a gyöngyszemek mozgását megadó egyenesek metszéspontjainak száma adja meg (1. ábra). (Az ábrán látható számok a gyöngyszemek azonosítását segítik.) Az ütközések (metszéspontok) száma legfeljebb $N\left(N-1\right)/2$ lehet.   1. ábra   Természetesen előfordulhat, hogy valamelyik két egyenes párhuzamos, ezeknek nincsen metszéspontja, illetve az is lehet, hogy két egyenes metszéspontja az indításnál korábbi időpontot jelöl ki (2. ábra). Ezekben az esetekben a ténylegesen bekövetkező ütközések száma kevesebb, mint $N\left(N-1\right)/2$.   2. ábra   $b)$ A lejtős rúdon súrlódásmentesen csúszó, tehát egyenletesen gyorsuló gyöngyszemek mindegyikének világvonala parabola. Ezen parabolák metszéspontjainak összeszámlálása az előzőnél sokkal bonyolultabb feladatnak látszik, de ‐ szerencsére ‐ nem ez a helyzet. A gyöngyszemek $a$ gyorsulását a rúd $\alpha$ hajlásszöge határozza meg ($a=g\text{sin}\alpha$). Üljünk bele ‐ gondolatban ‐ egy olyan koordináta-rendszerbe, amely éppen $a$ gyorsulással mozog a rúddal párhuzamosan. Ebből a rendszerből szemlélve a gyöngyszemek ,,súlytalanok'', mozgásuk tehát ugyanolyan egyenes vonalú, egyenletes mozgás, mint amilyen a vízszintes rúdnál volt. Emiatt az ütközések száma most is legfeljebb $N\left(N-1\right)/2$ lehet. 1A KöMaL 2017. évi áprilisi számában megjelent, pontversenyen kívüli feladat.