Feladat:	B.4840	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Busa Máté
Füzet:	2017/szeptember, 344. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Algebrai átalakítások, Természetes számok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/január: B.4840

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $a$ egy páratlan szám, ahol $|a|>1$ és $y=\left|\frac{a+1}{2}\right|$ és $z=\left|\frac{a-1}{2}\right|$. Legyen először $x=1$. Ekkor $x$, $y$ és $z$ pozitív egészek $a$ kikötései miatt és $\begin{array}{c}{\displaystyle n=x^2+y^2-z^2=1+\frac{a^2+2a+1}{4}-\frac{a^2-2a+1}{4}=a+1.}\end{array}$ Tehát ezzel a módszerrel elő tudjuk állítani a $3$-nál nagyobb és $\left(-1\right)$-nél kisebb páros számokat, vagyis $n\le -2$ vagy $4\le n$ és $n$ páros szám. Kimaradó páros számok a 0 és a $2$. Legyen most $x=2$. Ekkor $x$, $y$ és $z$ pozitív egészek $a$ kikötései miatt és $\begin{array}{c}{\displaystyle n=x^2+y^2-z^2=4+\frac{a^2+2a+1}{4}-\frac{a^2-2ab+1}{4}=a+4.}\end{array}$ Tehát ezzel a módszerrel elő tudjuk állítani a 6-nál nagyobb és a 2-nél kisebb páratlan számokat, vagyis $n\le 1$ vagy $7\le n$ és $n$ páratlan szám. Kimaradó páratlan számok a 3 és az 5. Már csak a 0, 2, 3, 5 számokat kell előállítani: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =3^2+4^2-5^2;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2}& {\displaystyle =3^2+3^2-4^2;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3}& {\displaystyle =4^2+6^2-7^2;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5}& {\displaystyle =4^2+5^2-6^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát minden egész számra bebizonyítottuk, hogy felírható $x^2+y^2-z^2$ alakban.