|
Feladat: |
B.4791 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andó Angelika , Cseh Kristóf , Csorba Benjámin , Fuisz Gábor , Horváth András János , Kocsis Júlia , Kondákor Márk , Nagy Dávid Paszkál , Polgár Márton , Szabó Dávid , Vágó Ákos , Váli Benedek |
Füzet: |
2017/szeptember,
339 - 343. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai bizonyítások, Feladat, Magasságvonal, Húrnégyszögek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2016/április: B.4791 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először tisztázzunk elfajuló, illetve lehetetlen eseteket. A vagy pontok akkor eshetnek egybe valamelyik csúccsal, ha a háromszög derékszögű. Ha a derékszög -nél van, akkor , nem jöhetett létre a -egyenes. Ha -nál vagy -nél van (mivel a két eset lényegében ugyanaz, elég pl. csak az csúcsra vizsgálni), akkor , így , vagyis most a -egyenes nem jöhetett létre. Ezeken az eseteken kívül nem eshet egybe se talpponttal, se csúccsal, se -vel. Lehetséges még, hogy , ilyenkor húrtrapéz, így miatt egyenlő szárú. Tehát fel kell tenni még, hogy . Legyen az szakasz felezőpontja . Bizonyítandó, hogy . Mivel , azért és az szakasz Thálesz-körére illeszkedik. Ezt a kört jelölje . Másrészt , ezért és a szakasz Thálesz-körére is illeszkedik. Legyen ez a kör , a középpontja pedig felezőpontja, . Most azt bizonyítjuk, hogy a szakasz (és hasonló módon a szakasz) az körhöz húzott érintőszakasz. , és az háromszög Feuerbach-körére illeszkednek (melyet az 1. ábrán -fel jelölünk), a körülírt kör középpontját viszonyítási pontnak választva pedig
ami a Feuerbach-kör középpontjának helyvektora (felhasználtuk a összefüggést is). Így átmérő, a Thálesz-tétel miatt , csakugyan érintőszakasz.
1. ábra Most invertáljunk -ra. A szakasz a kör sugara, ezért ‐ a szelőszorzat-tételt is figyelembe véve ‐ -nek a -ra invertált képe önmaga. Keressük képét. Az inverzió illeszkedéstartó, így egyrészt a egyenes képére illeszkedik. A és az fixpontok, az egyenes pedig nem megy át -n, így képe egy -n átmenő kör: körülírt köre, ami ismét Feuerbach-köre. Másrészt illeszkedik képére, ami fixegyenes. Így az oldalegyenes és a Feuerbach-kör metszéspontja. Két ilyen pont van: az egyik , de az középpontja, így nem lehet képe. A másik a -hez tartozó magasság talppontja, így ez a magasságtalppont lesz képe. (Megjegyzés: ha a magasságtalppont és egybeesnek, akkor egyenlő szárú lett volna, amit kizártunk.) Így . (Ha , és egy egyenesen lennének, akkor is átmérője lenne, így a Thálesz-tétel szerint is igaz lenne, vagyis az háromszög és oldalegyenesei párhuzamosak lennének, ami lehetetlen.) Most határozzuk meg -t is. Ez rajta van az fixkörön, így és második metszéspontja. Mivel az kör Thálesz-köre, így (ha és fordított sorrendben helyezkednek el, akkor is igaz az állítás, mert kiegészítő szögek lesznek). Most már meghatározhatjuk képét. -n nem mehet át, mert akkor az pont -n lenne, ami a derékszögű háromszög lehetetlen esetéhez vezet vissza. Így képe a -n, -n és -n átmenő kör. Mivel , azért ez Thálesz-köre. Eközben egy -n átmenő egyenes, így képe önmaga. Tehát képének centrálisa a egyenes, képe. Ez kör és egyenes között derékszöget jelent, így mivel az inverzió szögtartó, az eredeti egyenes és is merőlegesek voltak. Ezt kellett bizonyítani.
II. megoldás. Legyenek az , illetve pont koordinátái rendre , , , ahol , így állhat majd a számolás során törtek nevezőjében.
2. ábra A továbbiakban két főbb dolgot fogunk használni: ‐ Adott és pontokon átmenő egyenes egyenlete: | |
‐ Két, a tengelyekkel nem párhuzamos egyenes akkor merőleges egymásra, ha meredekségeik szorzata . Az egyenes egyenlete: . A egyenes egyenlete: . A egyenes egyenlete: (az állandót onnan tudjuk, hogy az egyenes átmegy a ponton). Az egyenlete: . Ha vagy , akkor az háromszög -ban vagy -ben derékszögű, és egyike az tengelyen van, egybeesik -mel és a derékszögű csúccsal, így is egybeesik -mel, tehát és nem határoz meg egyenest. Ezeket az értékeket tehát kizárhatjuk. Tudjuk, hogy rajta van a és egyeneseken, tehát felírható a következő egyenlet (a pont első koordinátája a következő egyenletben ):
(A számlálóban két nem 0 értékű szám négyzetének összege áll, tehát biztosan nem 0.) A pont második koordinátája: | |
Tudjuk, hogy rajta van az és egyeneseken, tehát felírható a következő egyenlet (az pont első koordinátája a következő egyenletben ):
Itt , ezért a számláló sem 0. Az pont második koordinátája: A egyenes meredeksége: | | A nevezőben a és az pont első koordinátájának különbsége áll. Ha ez 0, akkor a két pont egybeesik egymással és a csúccsal, vagyis az háromszög -ben derékszögű. Ekkor a feladat nem értelmezhető, így feltesszük, hogy ez nem igaz. A kifejezést egyszerűsítve a következőt kapjuk: . (Lépések: -tel, illetve -tel való bővítés, szorzattá alakítás, szorzótényezővel való egyszerűsítés. Ha ez utóbbinak 0 lenne az értéke, akkor a nevező is 0 lenne, viszont nem 0 értékről indultunk, és csak szoroztunk nem 0 értékű kifejezésekkel, tehát nem lehet 0 a nevező. A végeredmény így egy értelmezhető tört.) Mivel esetén , és ekkor nem jönne létre a metszéspont, ezért feltehetjük, hogy . Mivel az egyenes átmegy az ponton, a képletében szereplő konstans értéke: | | aminek egyszerűbb alakja . (Lépések: -tel való bővítés, összevonás, szorzattá alakítás, -tel való egyszerűsítés. Így a végeredmény egy értelmezhető tört.) A egyenes egyenlete tehát: | |
A pontról tudjuk, hogy rajta van az egyenesen, vagyis második koordinátája 0, és rajta van a egyenesen, tehát felírható a következő egyenlet a pont első koordinátájára: . Ez akkor igaz, ha , vagyis . Az pont első koordinátája , ugyanis a egyenes merőleges az tengelyre. Mivel rajta van az egyenesen, második koordinátája . A egyenes meredeksége: | |
koordinátái , ugyanis felezőpontja. Tehát a egyenes egyenlete: . Mivel , azért merőleges -re.
Megjegyzések. 1. A fő hiba a megoldásokban a diszkusszió hiánya volt. Ez a koordinátageometriai megoldásokban nem csupán geometriai, de algebrai hiányt is jelent, jellemzően 0-val való osztást. 2. Többen a számos fellépő húrnégyszöget használták ki, támaszkodva a kerületi szögek tételére, illetve bizonyos esetekben a hatványvonal tulajdonságaira; mivel sok kört lehetett észrevenni, több különböző úton is el lehetett jutni a megoldáshoz. Egy ilyen megoldás olvasható honlapunkon: https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B4791&l=hu. https://hu.wikipedia.org/wiki/Feuerbach-kör. |
|