Feladat:	2013. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Fleiner Tamás
Füzet:	2014/február, 69. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Síkgeometriai bizonyítások, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 2013. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $\left(a\right)$ A $P_1$, $P_2$ és $P_3$ sokszögeknek válasszuk ki két csúcsát ($X$-et és $Y$-t) úgy, hogy e két csúcs különböző sokszögekhez tartozzék és $\begin{array}{c}{\displaystyle d:=|\overline{XY}|}\end{array}$ távolságuk maximális legyen. Mivel a három sokszögnek összesen véges sok csúcsa van, ez valóban megtehető. Feltehetjük, hogy $X\in P_1$ és $Y\in P_2$. Az $X$ és $Y$ választása folytán a $P_3$ sokszög benne van az $X$ köré rajzolt $d$ sugarú körben és az $Y$ köré rajzolt $d$ sugarú körben is. Mivel $P_3$ bármely $Z$ pontjára az $XYZ$ háromszög területe legfeljebb egységnyi, ezért a $P_3$ sokszöglemez része egyúttal annak a sávnak is, amelyet az $XY$ egyenessel párhuzamos, attól $2/d$ távolságra levő egyenesek határolnak. E megfigyeléseinkből az adódik, hogy a $P_3$ sokszög benne van abban a $T$ téglalapban, amelynek $XY$ egy középvonala és az $XY$-ra merőleges oldalának hossza $4/d$. Ráadásul $P_3$ a $T$ egyetlen csúcsát sem tartalmazhatja a fenti két körön belüli elhelyezkedése folytán, ezért $P_3$ területe bizonyosan kisebb $T$ területénél, azaz $d\cdot \frac{4}{d}=4$-nél. A feladat $\left(a\right)$ részében pedig pontosan ezt kellett igazolnunk. $\left(b\right)$ Legyen $H_3$ az origót tartalmazó egypontú halmaz, $H_1$ és $H_2$ pedig az origó körüli $\sqrt[]{2}$ sugarú kör. Bárhogyan is választunk egy-egy pontot e halmazokból, azok olyan háromszöget alkotnak, amelynek van két, legfeljebb $\sqrt[]{2}$ hosszúságú szomszédos oldala, így a területe legfeljebb egységnyi. A $H_1$-be, illetve $H_2$-be írt négyzet átlójának hossza $2\sqrt[]{2}$, vagyis e négyzet oldalhossza $2$, területe pedig $4$. Tehát mind $H_1$, mind $H_2$ területe határozottan nagyobb $4$-nél. Található tehát olyan pozitív $\epsilon$ szám, amelyre az origó középpontú, $\sqrt[]{2}-\epsilon$ sugarú kör területe $4$-nél nagyobb. Válasszuk ezután a $P_1$ és $P_2$ sokszögeket úgy, hogy mindkettő tartalmazza az origó közepű $\sqrt[]{2}-\epsilon$ kört, de benne legyen az origó közepű $\sqrt[]{2}-\epsilon /2$ sugarú körben. Legyen $P_3$ tetszőleges olyan konvex sokszöglemez, amely benne van az origó közepű $\epsilon /2$ sugarú körben. Megmutatjuk, hogy az így választott $P_1$, $P_2$ és $P_3$ konvex sokszöglemezek rendelkeznek a (b) részben előírt tulajdonsággal. Mivel a sokszöglemezeket úgy választottuk, hogy $P_1$ és $P_2$ területe $4$-nél nagyobb, ezért mindössze azt kell igazolni, hogy ha $A\in P_1$, $B\in P_2$ és $C\in P_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe nem lehet $1$-nél nagyobb. Toljuk el az $ABC$ háromszöget úgy, hogy a $C$ csúcs az origóba kerüljön. A konstrukció folytán az $A\mathrm{,}B$ és $C$ csúcsok eltoltjai benne lesznek a $H_1$, $H_2$, illetve $H_3$ halmazokban, ezért a fenti megfigyelésünk szerint az eltolt háromszög területe nem nagyobb egynél. Ugyanez igaz tehát magára az $ABC$ háromszögre is, nekünk pedig éppen ezt kellett bizonyítanunk. $\square$   Megjegyzés. A feladatot a bizottság sajnos pontatlanul tűzte ki: lemaradt az a kikötés, hogy a $P_1$, $P_2$ és $P_3$ sokszöglemezek egy síkba esnek. Szerencsére ez nem okozott félreértést, mert minden megoldó élt ezzel a kimondatlan feltevéssel.