Feladat:	2013. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Fleiner Tamás
Füzet:	2014/február, 68. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Számsorozatok, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 2013. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Azt bizonyítjuk, hogy bármely pozitív egész $n$ szám az $\left(y_k\right)$ sorozatban pontosan kettővel többször fordul elő, mint az $\left(x_k\right)$ sorozatban. A feltétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{a}+2.}\end{array}$ (1) A sorozatok definícióját terjesszük ki $k=0$-ra is; legyen $x_0=y_0=0$. Minden nemnegatív egész $n$-re legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(n\right)=\underset{}{\overset{}{\text{max}}}\left\{k\ge 0:x_k\le n\right\}\text{és}g\left(n\right)=\underset{}{\overset{}{\text{max}}}\left\{k\ge 0:y_k\le n\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle x_k\le n\iff ak<n+\frac{1}{2}\iff k<\frac{n+\frac{1}{2}}{a}\iff k\le \lceil \frac{n+\frac{1}{2}}{a}\rceil -\mathrm{1,}}\end{array}$ ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(n\right)=\lceil \frac{n+\frac{1}{2}}{a}\rceil -\mathrm{1,}\text{és hasonlóan}g\left(n\right)=\lceil \frac{n+\frac{1}{2}}{b}\rceil -1.}\end{array}$ Az (1) feltételből ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle g\left(n\right)}& {\displaystyle =\lceil \frac{n+\frac{1}{2}}{b}\rceil -1=\lceil \left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{a}+2\right)\rceil -1=\lceil \frac{n+\frac{1}{2}}{a}+2n+1\rceil -1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =f\left(n\right)+2n+1.}\hfill \end{array}}$ Világos, hogy $n\ge 1$ esetén az $n$ szám az $\left(x_k\right)$ sorozatban $f\left(n\right)-f\left(n-1\right)$, az $\left(y_k\right)$ sorozatban pedig $g\left(n\right)-g\left(n-1\right)$ alkalommal fordul elő. Ezen kívül $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(n\right)-g\left(n-1\right)=\left(f\left(n\right)+2n+1\right)-\left(f\left(n-1\right)+2n-1\right)=f\left(n\right)-f\left(n-1\right)+\mathrm{2,}}\end{array}$ tehát $n$ valóban pontosan kettővel többször fordul elő az $\left(y_k\right)$ sorozatban, mint az $\left(x_k\right)$-ban. $\square$