Feladat:	B.4845	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna
Füzet:	2017/május, 279 - 280. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Rekurzív sorozatok, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/január: B.4845

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Teljes indukcióval belátható, hogy a sorozat minden eleme létezik és legalább 1: $a_1=1$. Ha $a_{n-1}\ge 1$, akkor $7a_{n-1}^2-3>0$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4a_{n-1}+\sqrt[]{7a_{n-1}^2-3}}{3}>\frac{4}{3}>1.}\end{array}$ Ebből azonnal látható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\frac{4a_{n-1}+\sqrt[]{7a_{n-1}^2-3}}{3}\ge \frac{4a_{n-1}+\sqrt[]{4a_{n-1}^2}}{3}=2a_{n-1}>a_{n-1}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a sorozat szigorúan monoton növekvő is. Azt fogjuk bizonyítani, hogy minden $n\ge 2$ egészre teljesül, hogy $a_{n-1}$ és $a_n$ egyaránt racionálisak. $a_1=1$ és $a_2=\frac{4+\sqrt[]{7-3}}{3}=2$, így $a_1$, $a_2$ racionálisak, azaz $n=2$-re igaz az állítás. Rendezzük át az $a_n=\frac{4a_{n-1}+\sqrt[]{7a_{n-1}^2-3}}{3}$ egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3a_n-4a_{n-1}}& {\displaystyle =\sqrt[]{7a_{n-1}^2-3}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(3a_n-4a_{n-1}\right)}^2}& {\displaystyle =7a_{n-1}^2-\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 9a_n^2-24a_n{a}_{n-1}+9a_{n-1}^2+3}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_{n-1}^2-\frac{8}{3}{a}_n{a}_{n-1}+a_n^2+\frac{1}{3}}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A most kapott egyenletet felírhatjuk eggyel nagyobb $n$-nel is: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}^2-\frac{8}{3}{a}_n{a}_{n+1}+a_n^2+\frac{1}{3}=0.}\end{array}$ Ezek szerint az $a_{n-1}$ és $a_{n+1}$ egyaránt megoldásai az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-\frac{8}{3}{a}_{n}x+a_n^2+\frac{1}{3}=0}\end{array}$ másodfokú egyenletnek (mivel $a_{n+1}>a_{n-1}$, azért különböző megoldásokról van szó). A Viéte-formulák szerint tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}=\frac{8}{3}{a}_n\mathrm{.}}\end{array}$ Így ha tudjuk, hogy $a_{n-1}$ és $a_n$ egyaránt racionálisak, akkor abból következik, hogy $a_{n+1}=\frac{8}{3}{a}_n-a_{n-1}$ is racionális. Az eddigiek alapján $a_1$ és $a_2$ racionálisak, továbbá tudjuk, hogy ha $a_{n-1}$ és $a_n$ egyaránt racionálisak, abból következik, hogy $a_n$ és $a_{n+1}$ is egyaránt racionálisak. Ezek alapján teljes indukcióval minden $n\ge 2$ egészre teljesül, hogy $a_{n-1}$ és $a_n$ egyaránt racionálisak; tehát a sorozat mindegyik tagja racionális.