A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Teljes indukcióval belátható, hogy a sorozat minden eleme létezik és legalább 1: . Ha , akkor és Ebből azonnal látható, hogy | | azaz a sorozat szigorúan monoton növekvő is. Azt fogjuk bizonyítani, hogy minden egészre teljesül, hogy és egyaránt racionálisak. és , így , racionálisak, azaz -re igaz az állítás. Rendezzük át az egyenletet:
A most kapott egyenletet felírhatjuk eggyel nagyobb -nel is: Ezek szerint az és egyaránt megoldásai az másodfokú egyenletnek (mivel , azért különböző megoldásokról van szó). A Viéte-formulák szerint tehát Így ha tudjuk, hogy és egyaránt racionálisak, akkor abból következik, hogy is racionális. Az eddigiek alapján és racionálisak, továbbá tudjuk, hogy ha és egyaránt racionálisak, abból következik, hogy és is egyaránt racionálisak. Ezek alapján teljes indukcióval minden egészre teljesül, hogy és egyaránt racionálisak; tehát a sorozat mindegyik tagja racionális. |