Feladat:	B.4835	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Daróczi Sándor
Füzet:	2017/május, 277 - 278. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: B.4835

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenletrendszer bármely két változó felcserélése esetén változatlan marad, így ha egy megoldást találunk, akkor annak összes lehetséges permutációja is megoldás lesz. Először számoljuk ki $xy+yz+zx$ és $xyz$ értékét. Nevezetes azonosságok alapján egyrészt: $\begin{array}{c}{\displaystyle 9={\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=7+2\left(xy+yz+zx\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan adódik, hogy $xy+yz+zx=1$. Másrészt háromtagú összeg köbének kifejtése és azonos átalakítások alapján: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 27}& {\displaystyle ={\left(x+y+z\right)}^3=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3+y^3+z^3+3\left(x^{2}y+x{y}^2+y^{2}z+y{z}^2+z^{2}x+z{x}^2\right)+6xyz=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =15+3\left(x^{2}y+x{y}^2+xyz+y^{2}z+y{z}^2+xyz+z^{2}x+z{x}^2+xyz\right)-3xyz=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =15+3\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz=15+3\cdot 3-3xyz\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A két oldal összehasonlításából kapjuk, hogy $xyz=-1$. Innen az is látható, hogy egyik gyök sem lehet nulla. Most néhány algebrai átalakítás után az $x$ ismeretlenre harmadfokú egyenlethez jutunk. Az összegből kifejezhető $y+z$: $\begin{array}{c}{\displaystyle y+z=3-x\mathrm{.}}\end{array}$ A szorzatból pedig $yz$-t tudjuk azonnal $x$-szel kifejezni: $yz=-\frac{1}{x}$. Ez utóbbi két tényt felhasználva csak egy változó marad az egyenletben: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=xy+yz+zx=x\left(y+z\right)+yz=x\left(3-x\right)-\frac{1}{x}\mathrm{.}}\end{array}$ A kapott egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=3x-x^2-\frac{1}{x}\mathrm{,}}\end{array}$ illetve rendezés után $x^3-3x^2+x+1=0$. Ennek az egyenletnek az $x=1$ megoldása, így az $\left(x-1\right)$ gyöktényező kiemelhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x^2-2x-1\right)=0.}\end{array}$ Az egyenlet további két gyöke $x=1+\sqrt[]{2}$ és $x=1-\sqrt[]{2}$. A szimmetria miatt ennek a három számnak az összes permutációi adják az eredeti egyenletrendszer összes megoldását. Az egyenletrendszernek tehát hat megoldása van. Behelyettesítéssel látható, hogy a kapott értékek valóban az egyenletrendszer gyökei.   Megjegyzések. 1. Az egyenletrendszer megoldása során megkaptuk az $x+y+z$, $xy+yz+zx$ és $xyz$ értékét, amelyek egy harmadfokú egyenlet ViŠte-formulái. Így az egyenletrendszer összes megoldását megkaphatjuk az $u^3-3u^2+u+1=0$ egyenlet gyökeiként. Ez pontosan megfelel az előzőekben leírt megoldásnak. 2. Azok a versenyzők, akik nem részletezték a harmadfokú egyenlet megoldását, vagy nem ellenőrizték a kapott gyököket, nem kaphattak teljes pontszámot. Ez okozza a hiányos dolgozatok viszonylag nagy számát.