Feladat:	B.4817	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dózsa Ferenc ,  Gárgyán Barnabás ,  Kovács Benedek
Füzet:	2017/május, 267 - 273. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: B.4817

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az egyenletrendszer értelmezési tartománya: $x\ne 0$; $y\ne 0$; $z\ne 0$. A második egyenlet bal oldalán lévő törteket közös nevezőre hozva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{yz-xz-xy}{xyz}=\frac{1}{8}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldalt megszorozva $xyz=8$-cal: $\begin{array}{c}{\displaystyle yz-xz-xy=1.}\end{array}$ Felhasználva a megadott egyenletrendszert és azt, hogy $x\ne 0$, tovább alakítjuk az egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle yz-x\left(y+z\right)}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{8}{x}-x\left(8-x\right)}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{8}{x}-8x+x^2-1}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8-8x^2+x^3-x}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2\left(x-8\right)-\left(x-8\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x-8\right)\left(x^2-1\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x-8\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Tehát $x$ értékei: $x_1=8$; $x_2=-1$; $x_3=1$. Ha $x=8$, akkor $y+z=0$, $z=-y$. Ebből: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xy\left(-y\right)}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -8y^2}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y^2}& {\displaystyle =-1.}\hfill \end{array}}$ Egy valós szám négyzete nem lehet negatív, így ellentmondáshoz jutottunk, $x$ nem lehet 8. Ha $x=1$, akkor $y+z=7$, $z=7-y$. Ebből: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xy\left(7-y\right)}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 7y-y^2-8}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y=\frac{7\pm \sqrt[]{49-32}}{2}}& {\displaystyle =\frac{7\pm \sqrt[]{17}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát ha $x=1$, akkor két eset lehetséges $y$-ra és $z$-re: ${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{és}}& {\displaystyle z}\hfill & {\displaystyle =\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{illetve}}\\ \hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{és}}& {\displaystyle z}\hfill & {\displaystyle =\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $x=-1$, akkor $y+z=9$, $z=9-y$. Ezt felhasználva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xy\left(9-y\right)}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -y\left(9-y\right)}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -9y+y^2-8}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{9\pm \sqrt[]{81+32}}{2}=\frac{9\pm \sqrt[]{113}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát $x=-1$ esetén is két eset lehetséges $y$-ra és $z$-re: ${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{és}}& {\displaystyle z}\hfill & {\displaystyle =\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{illetve}}\\ \hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{és}}& {\displaystyle z}\hfill & {\displaystyle =\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     II. megoldás. A nevezők miatt $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\ne 0$. A második egyenletet alakítva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle yz-xz-xy}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle yz=1+xz+xy}& {\displaystyle =\frac{8}{x}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+x^{2}z+x^{2}y}& {\displaystyle =8=x+y+z\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^{2}z+x^{2}y}& {\displaystyle =y+z\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2\left(y+z\right)}& {\displaystyle =y+z\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(y+z\right)\left(x^2-1\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(y+z\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ha $y=-z$, akkor az eredeti egyenletrendszerből: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x\cdot \left(-z\right)\cdot z}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}}& {\displaystyle =\frac{1}{8}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ amiből $-z^2=1$ következne, de ez lehetetlen. Ekkor tehát nincs megoldás. Ha $x=1$, akkor: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle y+z}& {\displaystyle =\mathrm{7,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle yz}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}}& {\displaystyle =\frac{1}{8}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből egyrészt $y=7-z$, és így az $yz=8$ egyenletet alakítva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle z\left(7-z\right)}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z^2-7z+8}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z_{\mathrm{1,2}}}& {\displaystyle =\frac{7\pm \sqrt[]{17}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle z_1}& {\displaystyle =\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{,}{y}_1=\frac{7+\sqrt[]{17}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z_2}& {\displaystyle =\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{,}{y}_2=\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Hasonló gondolatmenettel, $x=-1$ esetén $y=9-z$ és $yz=-8$-ból a $\begin{array}{c}{\displaystyle z^2-9z-8=0}\end{array}$ másodfokú egyenletet kapjuk. Az ehhez tartozó megoldások: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle z_3}& {\displaystyle =\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{,}{y}_3=\frac{9+\sqrt[]{113}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z_4}& {\displaystyle =\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{,}{y}_4=\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   III. megoldás. Először kössük ki, hogy az $x$, $y$ és $z$ számok közül egyik sem lehet nulla, hiszen az egyik egyenletben a nevezőben szerepelnek. Az $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{8}$ egyenletet $xyz$-vel szorozva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle yz-xz-xy=\frac{xyz}{8}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $xyz=8$, a jobb oldalon 1 áll: $\begin{array}{c}{\displaystyle yz-xz-xy=1.}\end{array}$ Felhasználva, hogy $x+y+z=8$, vagyis $z=8-x-y$: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle y\left(8-x-y\right)-x\left(8-x-y\right)-xy}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8y-xy-y^2-8x+x^2+xy-xy}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0=y^2+\left(x-8\right)y-x^2+8x+1.}\end{array}}$ Ez egy másodfokú egyenlet $y$-ra, a megoldóképlet alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{8-x\pm \sqrt[]{{\left(x-8\right)}^2+4\left(x^2-8x-1\right)}}{2}=\frac{8-x\pm \sqrt[]{5x^2-48x+60}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Most másféleképpen is ki fogjuk fejezni $y$-t $x$-ből. Tudjuk, hogy $xyz=8$, vagyis $z=\frac{8}{xy}$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle 8-x-y=\frac{8}{xy}\mathrm{.}}\end{array}$ Szorozva $xy$-nal: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 8xy-x^{2}y-x{y}^2}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x{y}^2+\left(x^2-8x\right)y+8}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ez ismét egy másodfokú egyenlet $y$-ra ($x\ne 0$), így újra felírva a megoldóképletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle y=\frac{8x-x^2\pm \sqrt[]{{\left(x^2-8x\right)}^2-4\cdot x\cdot 8}}{2x}=\frac{8x-x^2\pm \sqrt[]{x^4-16x^3+64x^2-32x}}{2x}\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ Az (1) és (2) egyenleteket egymással egyenlővé téve kaphatunk egy olyan egyenletet, amelyben csak $x$ szerepel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{8-x\pm \sqrt[]{5x^2-48x+60}}{2}=\frac{8x-x^2\pm \sqrt[]{x^4-16x^3+64x^2-32x}}{2x}\mathrm{.}}\end{array}$ Itt a $\pm$ jelek egymástól függetlenül pluszt és mínuszt is jelenthetnek. Szorozva $2x$-szel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 8x-x^2\pm x\sqrt[]{5x^2-48x+60}}& {\displaystyle =8x-x^2\pm \sqrt[]{x^4-16x^3+64x^2-32x}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \pm x\sqrt[]{5x^2-48x+60}}& {\displaystyle =\pm \sqrt[]{x^4-16x^3+64x^2-32x}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mindkét oldalt négyzetre emeljük: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2\left(5x^2-48x+60\right)}& {\displaystyle =x^4-16x^3+64x^2-32x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5x^4-48x^3+60x^2}& {\displaystyle =x^4-16x^3+64x^2-32x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4x^4-32x^3-4x^2+32x}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Osztva 4-gyel: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4-8x^3-x^2+8x=0.}\end{array}$ Látszik, hogy ennek az egyenletnek $x=0$, $x=1$ és $x=-1$ is gyöke, ezeket kiemelhetjük: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x\left(x^3-8x^2-x+8\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(x-1\right)\left(x^2-7x-8\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-8\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ebből tehát $x\in \left\{-\mathrm{1,0,1,8}\right\}$. A kikötésünk alapján $x\ne 0$, így $x\in \left\{-\mathrm{1,1,8}\right\}$. Nézzük először azt az esetet, amikor $x=8$. Ekkor (1) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{8-x\pm \sqrt[]{5x^2-48x+60}}{2}}\end{array}$ lenne, de a négyzetgyök alatt negatív szám szerepel ($5\cdot 8^2-48\cdot 8+60=-4$), tehát ebben az esetben $y$-ra nem kapunk valós megoldást. $x=8$ így nem ad megoldást. Most nézzük az $x=1$ esetet. Ekkor (1) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{8-x\pm \sqrt[]{5x^2-48x+60}}{2}=\frac{7\pm \sqrt[]{17}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez tehát két megoldást jelent, és ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle z=8-x-y=8-1-\frac{7\pm \sqrt[]{17}}{2}=\frac{7\mp \sqrt[]{17}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Maradt még az $x=-1$ eset. Ekkor (1) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{8-x\pm \sqrt[]{5x^2-48x+60}}{2}=\frac{9\pm \sqrt[]{113}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ itt is két megoldás van, és $\begin{array}{c}{\displaystyle z=8-x-y=8+1-\frac{9\pm \sqrt[]{113}}{2}=\frac{9\mp \sqrt[]{113}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Összesen tehát négy megoldást kaptunk: ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle x_1}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill & {\displaystyle y_1}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{,}}& {\displaystyle z_1}\hfill & {\displaystyle =\frac{7-\sqrt[]{17}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_2}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill & {\displaystyle y_2}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}\mathrm{,}}& {\displaystyle z_2}\hfill & {\displaystyle =\frac{7+\sqrt[]{17}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_3}& {\displaystyle =-\mathrm{1,}}\hfill & {\displaystyle y_3}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{,}}& {\displaystyle z_3}\hfill & {\displaystyle =\frac{9-\sqrt[]{113}}{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_4}& {\displaystyle =-\mathrm{1,}}\hfill & {\displaystyle y_4}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{,}}& {\displaystyle z_4}\hfill & {\displaystyle =\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez lényegében két megoldásnak vehető, ha $y$-t és $z$-t felcserélhetőnek tartjuk. (Az eredeti egyenletrendszerben $y$ és $z$ szimmetrikusan helyezkedik el.) Mivel a megoldás során nem csak ekvivalens átalakításokat használtunk, le kell ellenőriznünk, hogy ezek a megoldások valóban jók-e. Az $y-z$ szimmetria miatt elegendő a két lényegesen különböző megoldást leellenőrizni. Az első megoldásban $x=1$, $y=\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}$, $z=\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}$. Ekkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xyz}& {\displaystyle =yz=\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}\cdot \frac{7-\sqrt[]{17}}{2}=\frac{49-17}{4}=\frac{32}{4}=\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =1+\frac{7+\sqrt[]{17}}{2}+\frac{7-\sqrt[]{17}}{2}=1+7=\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}}& {\displaystyle =1-\frac{2}{7+\sqrt[]{17}}-\frac{2}{7-\sqrt[]{17}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\left(7-\sqrt[]{17}\right)\left(7+\sqrt[]{17}\right)-2\left(7-\sqrt[]{17}\right)-2\left(7+\sqrt[]{17}\right)}{\left(7-\sqrt[]{17}\right)\left(7+\sqrt[]{17}\right)}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{32-14+2\sqrt[]{17}-14-2\sqrt[]{17}}{32}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az első megoldás tehát jó. Nézzük a másodikat, itt $x=-1$, $y=\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}$ és $z=\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}$. Ekkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xyz}& {\displaystyle =-yz=-\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}\cdot \frac{9-\sqrt[]{113}}{2}=-\frac{81-113}{4}=-\frac{-32}{4}=\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =-1+\frac{9+\sqrt[]{113}}{2}+\frac{9-\sqrt[]{113}}{2}=-1+9=\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}}& {\displaystyle =-1-\frac{2}{9+\sqrt[]{113}}-\frac{2}{9-\sqrt[]{113}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-\left(9-\sqrt[]{113}\right)\left(9+\sqrt[]{113}\right)-2\left(9-\sqrt[]{113}\right)-2\left(9+\sqrt[]{113}\right)}{\left(9-\sqrt[]{113}\right)\left(9+\sqrt[]{113}\right)}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{32-18+2\sqrt[]{113}-18-2\sqrt[]{113}}{-32}=\frac{-4}{-32}=\frac{1}{8}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A második megoldás is jó, vagyis tényleg ez a két lényegesen eltérő megoldás (azaz négy $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ számhármas) van.