Feladat:	B.4815	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Balázs
Füzet:	2017/április, 216 - 217. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Teljes indukció módszere, Függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: B.4815

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $x=1\circ 1$. Bizonyítani fogjuk a megoldás során, hogy tetszőleges $a$, $b$ egészekre $a\circ b=a\cdot b\cdot x$. Ehhez először be fogjuk látni, hogy a művelet kommutatív, azaz: $a\circ b=b\circ a$. Mivel $0\circ 0=0\circ \left(0+0\right)=0\circ 0+0\circ 0$, ezért mindkét oldalból elvéve $0\circ 0$-t, rögtön adódik, hogy $0\circ 0=0$. Következő lépésként kiszámítjuk $0\circ a$ értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\circ a=0\circ \left(a+0\right)=a\circ 0+0\circ 0=a\circ 0=a\circ \left(0+0\right)=0\circ a+0\circ a\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $0\circ a=0\circ a+0\circ a$, így $0\circ a=0$. Ebből már következik a $\circ$ művelet kommutativitása is: $\begin{array}{c}{\displaystyle a\circ b=a\circ \left(b+0\right)=b\circ a+0\circ a=b\circ a\mathrm{.}}\end{array}$ Ezután igazoljuk, hogy $1\circ b=b\cdot x$. Teljes indukciót alkalmazunk $b$-re. Először tekintsük a $b>0$ esetet. Ekkor $b=1$ esetén igaz az állítás. Tegyük fel, hogy $b=k$ esetén is igaz, és lássuk be $b=k+1$-re. $\left(k+1\right)$-re az állítás: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\circ \left(k+1\right)=k\circ 1+1\circ 1=1\circ k+1\circ 1=k\cdot x+x=\left(k+1\right)\cdot x\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $1\circ b=b\cdot x$ tetszőleges 1-nél nagyobb $b$-re. Most ugyanezt igazoljuk a nem pozitív egészekre is. $b=1$-től kezdünk itt is, és feltesszük, hogy az állítás teljesül $b=k$-ra. Ekkor $\left(k-1\right)$-re: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\circ \left(k-1\right)=k\circ 1+\left(-1\right)\circ 1=1\circ k+\left(-1\right)\circ 1=k\cdot x+\left(-1\right)\circ \mathrm{1,}}\end{array}$ vagyis azt kellene még bebizonyítani, hogy $\left(-1\right)\circ 1=-x$. Ehhez induljunk ki $1\circ 1=x$ -ből. $1\circ \left(1-1\right)=1\circ 1+\left(-1\right)\circ 1=x+\left(-1\right)\circ 1$, viszont $1-1=0$, tehát $x+\left(-1\right)\circ 1=1\circ 0=0$, ezzel $\left(-1\right)\circ 1=-x$. A fentiek alapján az $1\circ b=b\cdot x$ állítás tetszőleges $b$ egészre teljesül. Végül használjunk az eredeti állítás igazolásához is teljes indukciót. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor $a>0$. Ekkor $a=1$ esetén igaz az állítás, mert $1\circ b=1\cdot b\cdot x$. Tegyük fel, hogy $a=k$-ra igaz, ekkor $a=k+1$-re felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k+1\right)\circ b=b\circ \left(k+1\right)=k\circ b+1\circ b=k\cdot b\cdot x+b\cdot x=\left(k+1\right)\cdot b\cdot x\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $a\circ b=a\cdot b\cdot x$, ha $a>0$. Nézzük ezután az $a\le 0$ esetet ‐ ekkor a teljes indukció az ellenkező irányban történik. A kiindulás itt is $a=1$, amire igaz az állítás. Feltéve, hogy $a=k$-ra igaz, $a=k-1$-re felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k-1\right)\circ b=b\circ \left(k-1\right)=k\circ b+\left(-1\right)\circ b=k\cdot b\cdot x+\left(-1\right)\circ b\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis azt kellene belátni, hogy $\left(-1\right)\circ b=-b\cdot x$. Az $1\circ b=b\cdot x$ ből kiindulva $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-1\right)\circ b=b\circ \left(1-1\right)=1\circ b+\left(-1\right)\circ b=b\cdot x+\left(-1\right)\circ b\mathrm{,}}\end{array}$ de mivel $1-1=0$, azért $b\cdot x+\left(-1\right)\circ b=b\circ 0=0$, tehát $\left(-1\right)\circ b=-b\cdot x$. Ezzel valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(k-1\right)\circ b=k\cdot b\cdot x+\left(-1\right)\circ b=k\cdot b\cdot x-b\cdot x=\left(k-1\right)\cdot b\cdot x\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $a\circ b=a\cdot b\cdot x$ minden $a$ egész szám esetén teljesül.