Kezdőlap


Feladat:	B.4779	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kocsis Júlia
Füzet:	2017/április, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Húrnégyszögek, Pont körre vonatkozó hatványa
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/március: B.4779

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az oldalakat a megfelelő kisbetűkkel jelöljük. A $D E F G$ négyszög a feladat feltételeinek megfelelően húrnégyszög úgy, hogy a körülírt köre érinti a háromszög $A C$ oldalát. Ezért a négyszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Mivel $D$ és $E$ is harmadolópontok, azért $A D = E B = \frac{c}{3}$ , így az $A B$ és a $D E$ szakaszok felezőpontjai egybeesnek. Hasonlóan igaz, hogy a $B C$ és az $F G$ szakaszok felezőpontjai is egybeesnek. Ezért a $D E F G$ négyszög körülírt ( $k)$ körének $O$ középpontja egyben az $A B C$ háromszög körülírt körének is középpontja, hiszen rajta van az $A B$ és $B C$ oldalak felező merőlegesén is.

k

kör az

A C

oldalt

H

-ban érinti. Ekkor

O H ⊥ A C

. Mivel

O H

átmegy az

A B C

háromszög köré írt kör középpontján és merőleges

A C

-re,

O H

A C

oldal felező merőlegese, vagyis

H

A C

oldal felezőpontja.
Írjuk fel a

B

és

C

pontok

k

körre vonatkozó hatványát kétféleképpen.
A

B

ponté:

\frac{2 c^{2}}{9} = \frac{{3 a}^{2}}{16}

, a

C

ponté:

\frac{b^{2}}{4} = \frac{{3 a}^{2}}{16}

.
Rendezve:

b^{2} = \frac{{3 a}^{2}}{4}

és

c^{2} = \frac{{27 a}^{2}}{32}

. Ebből meghatározható az oldalak négyzetének aránya:

\begin{matrix} a^{2} : b^{2} : c^{2} = 1 : \frac{3}{4} : \frac{27}{32}, \end{matrix}

illetve az oldalak aránya:

\begin{matrix} a : b : c = 1 : \frac{\sqrt[]{3}}{2} : \frac{3 \sqrt[]{3}}{4 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Ebből ‐ az

a

oldal hosszát egységnyinek tekintve ‐ koszinusztétel segítségével kiszámolhatjuk a háromszög szögeit:

\begin{matrix} c^{2} & = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot cos γ, \\ \frac{27}{32} & = 1 + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} cos γ, \\ b^{2} & = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot cos β, \\ \frac{3}{4} & = 1 + \frac{27}{32} - 2 \cdot \frac{3 \sqrt[]{3}}{4 \sqrt[]{2}} cos β . \end{matrix}

Ezekből kiszámolva a háromszög szögeinek értéke két tizedesjegyre kerekítve:

γ = 58, 45^{\circ}

β = 53, 46^{\circ}

és

α = 180^{\circ} - γ - β = 60, 09^{\circ}