Feladat:	C.1306	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babotán Márk ,  Bánóczi Anna ,  Buzás Álmos ,  Csorba Benjámin ,  Erdélyi Janka ,  Fetter László ,  Horváth András János ,  Inges Zénó ,  Kiss Vivien Mercédesz ,  Kocsis Júlia ,  Komoróczy Ádám ,  Kormányos Hanna Rebeka ,  Kovács Iván ,  Kupás Vendel Péter ,  M. Szűcs Péter ,  Mészáros Viktória ,  Ondrik Ákos ,  Osváth Tibor Attila ,  Pukler Márton ,  Souly Alexandra ,  Tar Viktor ,  Tatai Mihály ,  Tolmácsi Ágnes ,  Török Réka
Füzet:	2017/április, 212 - 213. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Magasságvonal
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/szeptember: C.1306

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen a három oldal $a\le b\le c$, és jelöljük a hozzájuk tartozó magasságokat a szokásos módon. Ha a háromszög nem derékszögű, akkor a magasságok és az oldalak által meghatározott derékszögű háromszögekből $m_b<a$ és $m_c<a$ is következik. Így $m_c<a\le c$ miatt $m_c<c$, és $m_b<a\le b$ miatt $m_b<b$ teljesül. Ebben az esetben tehát nem teljesül a feladat feltétele. Ha a háromszög derékszögű, akkor $a\le b<c$, hiszen a derékszög a legnagyobb oldallal szemközti szög. Ekkor $m_b=a$ és $m_a=b$ miatt $m_b\le b$ és $a\le m_a$. Az $m_c$ és az $a$ által meghatározott derékszögű háromszögből $c>a>m_c$. Tehát a feltétel csak akkor tud teljesülni, ha $m_b=b$, amiből $a=b$ következik. Ekkor a két befogóra teljesül, hogy legfeljebb akkorák, mint a hozzájuk tartozó magasság. Ezzel beláttuk az állítást.   II. megoldás. A szokásos jelölésekkel legyen $a\le m_a$ és $b\le m_b$. Pont és szakasz közötti távolság akkor a legrövidebb, ha a pontból merőlegest bocsájtunk az egyenesre. Vagyis egy háromszögben a szomszédos oldalakhoz tartozó magasság mindig rövidebb vagy egyenlő hosszúságú, mint az adott oldal. Ennek alapján: $m_b\le a$ és $m_a\le b$. A négy egyenlőség alapján felírhatjuk, hogy $m_b\le a\le m_a\le b\le m_b$. Ez pedig akkor és csak akkor teljesül, hogy ha $a=b=m_a=m_b$, vagyis a háromszög egyenlő szárú és derékszögű, mivel a magasságvonalak hossza megegyezik az oldalak hosszával, vagyis páronként egy egyenesbe esnek.   III. megoldás. A feladat feltétele szerint legyen $m_a\ge a$ és $m_b\ge b$, továbbá jelölje a háromszög területét $T$, az $a$ és $b$ oldal által bezárt szöget pedig $\gamma$. Tudjuk, hogy $T=\frac{a{m}_a}{2}=\frac{b{m}_b}{2}=\frac{ab\text{sin}\gamma }{2}$, amiből a feltételeket felhasználva $2T=a{m}_a\ge a^2$ és $2T=b{m}_b\ge b^2$ következik. Mivel $0\le \text{sin}\gamma \le 1$, és ${\left(a-b\right)}^2=a^2+b^2-2ab\ge 0$ miatt $a^2+b^2\ge 2ab$, felírhatjuk a következő egyenlőtlenség-láncolatot: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4T\ge a^2+b^2\ge 2ab\ge 2ab\text{sin}\gamma =4\cdot \frac{ab\text{sin}\gamma }{2}=4T\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy ekkor mindenütt egyenlőség teljesül, azaz $a=m_a$, $b=m_b$, $a=b$ és $\gamma ={90}^{\circ }$.   Megjegyzés. A sok 4 pontos dolgozat annak köszönhető, hogy nagyon sokan hivatkoztak általános esetben az I. megoldásban is szereplő derékszögű háromszögekre, ám azok nem mindig jönnek létre.