Feladat:	B.4805	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kocsis Júlia
Füzet:	2017/március, 155. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Algebrai egyenletrendszerek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/szeptember: B.4805

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenletrendszer szimmetrikus, így ha találunk egy megoldás-hármast, akkor annak összes permutációja is megoldás. A második egyenletben a $2$-es szorzó helyére írjuk be az első egyenlet bal oldalát, majd szorozzunk be és rendezzünk nullára: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xyz}& {\displaystyle =\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xyz}& {\displaystyle =3xyz+x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+x{y}^2+y{z}^2+z{x}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =2xyz+x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+x{y}^2+y{z}^2+z{x}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez a szimmetrikus kifejezés szorzattá alakítható: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x^2+y^2+2xy\right)=\left(x+y\right)\left(xy+zx+yz+z^2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Szorzat csak abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ha $x+y=0$, akkor az első egyenletből $z=2$, továbbá a második egyenlet állítása teljesül, mert $yz+zx$ is nulla. Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Az egyik ismeretlen 2, a másik kettő pedig egymás ellentettje: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=-y\mathrm{,}z=2;y=-z\mathrm{,}x=2;z=-x\mathrm{,}y=2.}\end{array}$