Kezdőlap


Feladat:	B.4769	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Németh Balázs
Füzet:	2017/március, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Körök, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Paraméteres egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/február: B.4769

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje az $A B$ oldal harmadolópontjait $C_{1}$ és $C_{2}$ , a $B C$ oldalét $A_{1}$ és $A_{2}$ , az $A C$ oldalét pedig $B_{1}$ és $B_{2}$ (ábra). Ekkor a párhuzamos szelők tétele miatt $A_{1} B_{2} ∥ A_{2} B_{1}$ és $A_{1} C_{2} ∥ A_{2} C_{1}$ . Tehát az $A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}$ és $A_{1} A_{2} C_{1} C_{2}$ négyszögek trapézok, de egyszersmind húrnégyszögek is, hiszen mind a hat pont egy körön van.

Ha egy trapéz húrnégyszög, akkor szárai egyenlő hosszúságúak, vagyis

A_{1} A_{2} = B_{1} B_{2}

és

A_{1} A_{2} = C_{1} C_{2}

.
Ha a háromszög oldalai

a

b

c

, akkor ez éppen azt jelenti, hogy:

\begin{matrix} \frac{a}{3} = \frac{b}{3} és \frac{a}{3} = \frac{c}{3} . \end{matrix}

Emiatt

a = b = c

, vagyis az

A B C

háromszög szabályos.