Feladat:	2016. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2017/február, 110 - 112. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Egyéb áramkörök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: 2016. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata, 1970/szeptember: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata, 1970/október: F.1731, 1970/szeptember: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata Feladatok megoldásai: 1971/május: F.1731

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A fémkorong vizsgálata előtt érdemes egy végtelen fémlemez esetéből kiindulni. Képzeljük el, hogy egy végtelen fémlap $A$ pontjába $2I$ áramot vezetünk, a $B$ pontból pedig elvezetjük azt. Ha csak az $A$ jelű elektróda lenne jelen, a fémlemezben a bevezetett áram izotrop módon terjedne szét, így az $A$ ponttól $r_1$ távolságra az áramsűrűség nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle j_1=\frac{2I}{2\pi r_{1}d}}\end{array}$ lenne. A differenciális Ohm-törvény értelmében ezt az áramsűrűséget a lemezben megjelenő $E_1=\varrho j_1$ térerősségű elektromos mező tartja fenn, így az $A$ elektróda hatására a végtelen fémlemezben az $r_1$ távolsággal fordítottan arányos erősségű, az $A$ ponttal ellentétes irányba mutató, ,,sugaras'' elektromos mező alakul ki. Hasonlóan, ha csak a $B$ jelű csatlakozó lenne jelen, akkor $r_2$ távolságban $E_2=2\varrho I/\left(2\pi r_{2}d\right)$ térerősségű, a $B$ pont felé mutató elektromos tér jönne létre. Mivel mindkét elektróda jelen van, így a lemezben kialakuló elektromos tér (és áramsűrűség) az előbbi két eset szuperpozíciójaként (vektori összegeként) számolható. Tekintsük most a végtelen fémlemez tetszőleges $P$ pontját (lásd a 9. ábrát)! Itt az $A$ és $B$ elektródák hatására külön-külön ${\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}}_1$ és ${\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}}_2$ térerősség alakul ki, melyek nagyságára az eddigiek szerint fennáll az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{|{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}}_1|}{|{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}}_2|}=\frac{r_2}{r_1}}\end{array}$ egyenlőség. Ebből és a váltószögek egyenlőségéből látszik, hogy az $ABP$ háromszög hasonló a térerősségvektorok által meghatározott háromszöghöz, ezért az eredő térerősségvektor a $PB$ szakasszal ugyanakkora szöget zár be, mint a $PAB$ szög. Ez viszont azt jelenti, hogy az $ABP$ háromszög ($O$ középpontú) köréírt körét a $P$ pontbeli eredő térerősség érinti, hiszen van két szögünk ($PAB\sphericalangle$, illetve az $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}$ és ${\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}}_2$ vektorok által bezárt szög), melyek egyenlőségük miatt a kör ugyanazon $PB$ ívéhez tartozó kerületi szögek.   9. ábra   A fentiekből következik, hogy az eredő térerősségvektor a fémsík tetszőleges pontjában érintője az $A$, $B$ és a kiszemelt pontra illeszkedő körívnek, a lemezben kialakuló elektromos erővonalak (és így az áramvonalak is) tehát körív alakúak, melyek átmennek az $A$ és $B$ pontokon. Most vágjuk ki gondolatban a végtelen fémlapból a 10. ábrán látható, a feladatnak megfelelő korong alakú részt! A korong pereme mentén az áramok a kivágás előtt is érintő irányban folytak, így az áramokra kirótt határfeltétel automatikusan teljesül. A korong kivágása tehát nem változtatja meg sem a külső, sem a belső árameloszlást, és így a feszültségviszonyokat sem. A végtelen fémlapban az áram be- és kivezetési pontjának közvetlen közelében az árameloszlás izotrop volt (itt a távolabbi elektróda hatása már nem érződik), így a korong kivágása előtt a fémlemezbe vezetett $2I$ erősségű áramnak pontosan a fele jutott be a korongba (lásd a 10. ábra kinagyított részletét). A feladatbeli kérdés tehát egyenértékű azzal, hogy mekkora volt a feszültség a végtelen fémlap $C$ és $D$ pontjai között a korong kivágása előtt.   10. ábra   Az $A$ pontban bevezetett $2I$ áram hatására az elektródától $r$ távolságra a fémlap potenciálja (az $A$ és $B$ pontok között félúton, a korong középpontjában elhelyezkedő referenciaponthoz képest) a térerősség integrálásával kapható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Phi \left(r_1\right)=\underset{r_1}{\overset{r_0}{\int }}{E}_1\left(r\text{'}\right)\text{d}r\text{'}=\frac{2\varrho I}{2\pi d}\underset{r_1}{\overset{r_0}{\int }}\frac{1}{r\text{'}}\text{d}r\text{'}=-\frac{\varrho I}{\pi d}\text{ln}\frac{r_1}{r_0}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $r_0=r$. Ennek felhasználásával az $A$ pontbeli elektróda által a $C$ és $D$ pontok között létrehozott feszültség nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{CD}^{\left(A\right)}=\frac{\varrho I}{\pi d}\left(-\text{ln}\frac{r}{2r_0}+\text{ln}\frac{3r}{2r_0}\right)=\frac{\varrho I}{\pi d}\text{ln}3.}\end{array}$ Ugyanekkora potenciálkülönbséget hoz létre a $B$ jelű elektróda is, így a szuperpozíció értelmében a $C$ és $D$ pontok között eső feszültség $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{CD}=U_{CD}^{\left(A\right)}+U_{CD}^{\left(B\right)}=2U_{CD}^{\left(A\right)}=\frac{2\varrho I}{\pi d}\text{ln}3.}\end{array}$ Ekkora tehát a kivágott fémkorong $C$ és $D$ pontjai közötti feszültség is.