Feladat:	2016. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2017/február, 107 - 110. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Gyűjtőlencse, Egyéb optikai alapjelenség
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: 2016. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladat megoldásának lényege, hogy megértsük, miért lesz a közelebbi tárgy képe elmosódott. A 3. ábrán két pontszerű tárgy képe látható. A távolabbiról a lencse pontosan a CCD érzékelő síkjában hoz létre éles, pontszerű képet. A közelebbiről viszont távolabb keletkezne éles kép, így a CCD-n egy elmosódott, $\delta$ átmérőjű folt keletkezik. Az ábráról leolvasható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{D}{\delta }=\frac{k}{k-k_0}\mathrm{,}}\end{array}$ a leképzési törvény alapján pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{t_0}+\frac{1}{k_0}=\frac{1}{f}\text{és}\frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f}\mathrm{.}}\end{array}$   3. ábra   A 4. ábra alapján a közelebbi tárgy távolsága a két kép nagyításának arányából határozható meg: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{K_0}{T}}& {\displaystyle =\frac{k_0}{t_0}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{K}{T}}& {\displaystyle =\frac{k_0}{t}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \lambda }& {\displaystyle =\frac{K}{K_0}=\frac{t_0}{t}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A 2. ábra bal oldali részéről leolvasható a szélső pöttyök középpontjának távolsága (a szomszédos pöttyök távolságának kétszerese) mindkét képen (5. ábra).   4. ábra     5. ábra   Ebből: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \lambda }& {\displaystyle =\frac{K}{K_0}=\frac{2b}{2a}=\frac{33\text{mm}}{7\mathrm{,}6\text{mm}}=4\mathrm{,}\mathrm{34,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle t}& {\displaystyle =\frac{t_0}{\lambda }=\frac{25\text{cm}}{4\mathrm{,}34}=5\mathrm{,}8\text{cm}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A 2. ábra jobb oldali (nagyított) részén leolvasható a pöttyök átmérőjének és távolságának aránya (6. ábra). Ebből: $\begin{array}{c}{\displaystyle \varrho =\frac{c\text{'}}{a\text{'}}=2\frac{c\text{'}}{2a\text{'}}=2\cdot \frac{5\mathrm{,}8\text{mm}}{24\text{mm}}=0\mathrm{,}48.}\end{array}$   6. ábra   Ez alapján kiszámíthatjuk, hogy mekkora lenne a 2. ábra bal oldali felén a közelebbi pöttyök átmérője, ha nem lenne elmosódva (7. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle d=\varrho b=\varrho \frac{2b}{2}=0\mathrm{,}48\cdot \frac{33\text{mm}}{2}=8\mathrm{,}0\text{mm}\mathrm{.}}\end{array}$ Ugyanitt leolvasható az elmosódott kép átmérője is: $d\text{'}\text{'}=15\mathrm{,}5\text{mm}$. A két átmérő különbsége a kép elmosódottsága (ekkora lenne egy pontszerű tárgy elmosódott képe ezen a képen): $\begin{array}{c}{\displaystyle e=d\text{'}\text{'}-d=7\mathrm{,}5\text{mm}\mathrm{.}}\end{array}$   7. ábra   Ezután már csak néhány számítás van hátra. A 3. ábrán jelölt képtávolságok: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle k_0}& {\displaystyle =\frac{t_{0}f}{t_0-f}=19\mathrm{,}4\text{mm}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k}& {\displaystyle =\frac{tf}{t-f}=26\mathrm{,}2\text{mm}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Két pötty távolsága a fényképezőgép CCD érzékelőjén (ez a távolság a valóságban $a_0=5\mathrm{,}8\text{mm}$, meg van adva): $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{\text{CCD}}=\frac{k_0}{t_0}{a}_0=\frac{19\mathrm{,}4\text{mm}}{250\text{mm}}\cdot 5\mathrm{,}8\text{mm}=0\mathrm{,}45\text{mm}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből a 2. ábra bal oldali képének nagyítása a CCD-n kialakuló képhez viszonyítva: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\frac{a}{a_{\text{CCD}}}=\frac{2a}{2a_{\text{CCD}}}=\frac{7\mathrm{,}6\text{mm}}{2\cdot 0\mathrm{,}45\text{mm}}=8\mathrm{,}4.}\end{array}$ Ebből az elmosódottság a CCD érzékelőn: $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta =\frac{e}{N}=\frac{7\mathrm{,}5\text{mm}}{8\mathrm{,}4}=0\mathrm{,}9\text{mm}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből viszont a keresett lencseátmérő a 3. ábra alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\delta \frac{k}{k-k_0}\approx 3\mathrm{,}5\text{mm}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. A kérdezett mennyiségek hibájára csak becslést adunk. A lehető legpontosabb (tized mm-es) leolvasás és egy kicsit ,,nagyvonalúbb'' (fél mm pontos) leolvasás adataival is végigszámolva azt kapjuk, hogy a közelebbi tárgy távolságára kapott eredmény hibája 1‐2%, a lencse átmérő hibája pedig 10‐15%. 2. A közelebbi tárgy távolságát azért kérdeztük, hogy segítsük a gondolatmenetet. Ezt több versenyző is meghatározta, de nem tudtak továbblépni. Egyetlen helyes megoldón kívül szinte senki nem tudta helyesen értelmezni a kép elmosódottságát; néhányan a fény elhajlásával próbálták megmagyarázni, ami szintén helytelen.