Feladat:	2016. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2017/február, 105 - 106. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Tömegpont mozgásegyenlete
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/február: 2016. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata, 1970/szeptember: 1970. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata Feladatok megoldásai: 1971/május: 1325. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha a rajztábla és a pénzérme között a súrlódási tényező elegendően nagy lenne ($\mu >R{\omega }^2/g$), akkor a pénzérme nem csúszna meg, hanem a táblához tapadva követné annak mozgását. A feladat szövege szerint nem ez a helyzet, így a rajztábla indításakor a pénzérme azonnal megcsúszik. Sejthető, hogy néhány periódusidőnyi átmeneti (tranziens) szakasz után az érme mozgása állandósul. Megmutatjuk, hogy az egyenletes körmozgást végző pénzérme kielégíti a Newton-féle mozgásegyenletet. Az $m$ tömegű pénzérmére vízszintes irányban egyetlen erő hat: a $\mu mg$ nagyságú, de állandóan változó irányú csúszási súrlódási erő. Stacionárius körmozgás esetén az érme sebességének nagysága állandó, ezért a súrlódási erő mindig merőleges a sebességvektorra. A pénzérme körmozgásának szögsebessége nem lehet más, mint a rajztábla mozgásának $\omega$ körfrekvenciája. A körpálya $r$ sugarát a mozgásegyenletből határozhatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg=mr{\omega }^2\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ebből</span>}r=\frac{\mu g}{{\omega }^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Érdekes, hogy $r$ nem függ a rajztábla pályájának $R$ sugarától.   1. ábra   Most térjünk rá arra a kérdésre, hogy milyen nyomot hagy az érme a rajztáblán! Ehhez a két test relatív mozgását kell elemezni. Az 1. ábrán látható $r$ sugarú $k_1$ kör a pénzérme pályáját mutatja az álló vonatkoztatási rendszerben, az $R$ sugarú $k_2$ kör a rajztábla éppen az érmével érintkező pontjának későbbi pályáját jelzi, végül pedig a $\varrho$ sugarú $k_3$ kör a táblán hagyott grafitnyomnak felel meg. Az érmére ható csúszási súrlódási erő az $O_1$ pont felé mutat, ezzel ellentétes tehát az érme rajztáblához viszonyított ${\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">rel</span>}}$ sebessége. Az érme álló vonatkoztatási rendszerhez viszonyított $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}$ sebessége viszont erre merőleges, így a rajztábla érmével éppen érintkező pontjának $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">V</span></span>}=\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}-{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">rel</span>}}$ sebességére fennáll a Pitagorasz-tétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">V</span></span>}}^2={\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}^2+{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">rel</span>}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Mivel az állandósult mozgásszakaszban mindhárom sebességvektor $\omega$ szögsebességgel forog az időben, a nagyságukat kifejezhetjük a körpályák sugarával: $\begin{array}{c}{\displaystyle |\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">V</span></span>}|=R\omega \mathrm{,}|\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}|=r\omega \mathrm{,}|{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">rel</span>}}|=\varrho \omega \mathrm{,}}\end{array}$ amelyeket a $\left(2\right)$ egyenletbe írva a sugarak között kapunk összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle R^2=r^2+{\varrho }^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt és az $\left(1\right)$ eredményt felhasználva megkapjuk a pénzérme által a rajztáblán hagyott kör alakú grafitnyomok $\varrho$ sugarát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \varrho =\sqrt[]{R^2-{\left(\frac{\mu g}{{\omega }^2}\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az érme megcsúszásának $\mu <R{\omega }^2/g$ feltétele miatt ez mindig valós.   Megjegyzés. Az ábráról leolvasható, hogy az érme mozgása nincs szinkronban a rajztábla mozgásával, hanem ahhoz képest folyamatosan ,,késik''. A fáziskésés $\phi$ szögét is a sebességvektorok által kifeszített derékszögű háromszög segítségével határozhatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\phi =\frac{|\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}|}{|\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">V</span></span>}|}=\frac{r}{R}=\frac{\mu g}{R{\omega }^2}\mathrm{,}}\end{array}$ amely csúszó érme esetén biztosan kisebb $1$-nél.