|
Feladat: |
B.4790 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Baran Zsuzsanna , Bodolai Előd , Borbényi Márton , Cseh Kristóf , Döbröntei Dávid Bence , Gáspár Attila , Hansel Soma , Horváth András János , Imolay András , Kerekes Anna , Keresztes László , Keresztfalvi Bálint , Klász Viktória , Kosztolányi Kata , Lajkó Kálmán , Matolcsi Dávid , Nagy Dávid Paszkál , Németh Balázs , Németh Tamás , Nguyen Viet Hung , Polgár Márton , Schrettner Bálint , Tóth Viktor , Váli Benedek |
Füzet: |
2017/február,
90 - 91. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Súlyvonal, Vektorok lineáris kombinációi |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2016/április: B.4790, 1965/október: 1414. matematika feladat, 1965/szeptember: 1965. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Válasszuk úgy a koordinátarendszert, hogy az háromszög körülírt körének középpontja az origóba kerüljön, a csúcsok koordinátái pedig legyenek , és . Ekkor a oldal felezőpontja , és így az súlyvonal Thálesz-körének középpontja . Az körülírt körének, illetve az súlyvonal Thálesz-körének közös húrja , ennek felezőmerőlegesére illeszkednek az és középpontok, ezért az -re -ban állított merőleges normálvektora például | | Bevezetve az és rövidítéseket, az -re -ban állított merőleges egyenletére | | adódik. Hasonlóan a -re -ben, illetve -re -ben állított merőlegesek egyenletei rendre | | és | |
Tekintsük az pontot. Behelyettesítve a kapott egyenletekbe azonnal adódik, hogy mindhárom egyenesre illeszkedik, amivel a feladat állítását beláttuk.
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Jól ismert tény, hogy az háromszög magasságpontjának az pontra vonatkozó tükörképe éppen körülírt körének -val átellenes pontja, vagyis az csúcs -ra vonatkozó tükörképe. Így a Thálesz-tétel miatt egyrészt , másrészt ‐ mivel illeszkedik az átmérőjű körre is ‐ . Az eddigiekből következik, hogy az , , és pontok mind illeszkednek az egyenesre -ben állított merőlegesre. Legyenek az és pontok -ra vonatkozó tükörképei és . Mivel illeszkedik az egyenesre, illeszkedik -re. Viszont ismét a Thálesz-tétel miatt éppen az -re -ban állított merőleges egyenes. Hasonlóan megmutatható, hogy illeszkedik a -re -ben állított merőlegesre, valamint a -re -ben állított merőlegesre, amivel az állítást beláttuk.
Megjegyzés: Szintén jól ismert tény, hogy az I. megoldásban választott koordinátarendszer esetén éppen magasságpontja, így onnan is kiolvasható, hogy a szóbanforgó egyenesek közös pontja éppen tükörképe -ra.
|
|