Kezdőlap


Feladat:	B.4790	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna , Bodolai Előd , Borbényi Márton , Cseh Kristóf , Döbröntei Dávid Bence , Gáspár Attila , Hansel Soma , Horváth András János , Imolay András , Kerekes Anna , Keresztes László , Keresztfalvi Bálint , Klász Viktória , Kosztolányi Kata , Lajkó Kálmán , Matolcsi Dávid , Nagy Dávid Paszkál , Németh Balázs , Németh Tamás , Nguyen Viet Hung , Polgár Márton , Schrettner Bálint , Tóth Viktor , Váli Benedek
Füzet:	2017/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Súlyvonal, Vektorok lineáris kombinációi
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/április: B.4790, 1965/október: 1414. matematika feladat, 1965/szeptember: 1965. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Válasszuk úgy a koordinátarendszert, hogy az

A B C

háromszög körülírt körének

O

középpontja az origóba kerüljön, a csúcsok koordinátái pedig legyenek

A (a_{1}, a_{2})

B (b_{1}, b_{2})

és

C (c_{1}, c_{2})

. Ekkor a

B C

oldal felezőpontja

F_{A} ((b_{1} + c_{1}) / 2, (b_{2} + c_{2}) / 2)

, és így az

A F_{A}

súlyvonal Thálesz-körének középpontja

O_{A} ((2 a_{1} + b_{1} + c_{1}) / 4, (2 a_{2} + b_{2} + c_{2}) / 4)

.
Az

A B C

körülírt körének, illetve az

A F_{A}

súlyvonal Thálesz-körének közös húrja

A A_{1}

, ennek felezőmerőlegesére illeszkednek az

O

és

O_{A}

középpontok, ezért az

A A_{1}

-re

A

-ban állított merőleges normálvektora például

\begin{matrix} \vec{n_{A}} = 4 {\vec{O O_{A}}}^{(90^{\circ})} = (- (2 a_{2} + b_{2} + c_{2}),2 a_{1} + b_{1} + c_{1}) . \end{matrix}

Bevezetve az

m_{1} = a_{1} + b_{1} + c_{1}

és

m_{2} = a_{2} + b_{2} + c_{2}

rövidítéseket, az

A A_{1}

-re

A

-ban állított merőleges egyenletére

\begin{matrix} - (m_{2} + a_{2}) x + (m_{1} + a_{1}) y = - (m_{2} + a_{2}) a_{1} + (m_{1} + a_{1}) a_{2} = m_{1} a_{2} - m_{2} a_{1} \end{matrix}

adódik. Hasonlóan a

B B_{1}

-re

B

-ben, illetve

C C_{1}

-re

C

-ben állított merőlegesek egyenletei rendre

\begin{matrix} - (m_{2} + b_{2}) x + (m_{1} + b_{1}) y = m_{1} b_{2} - m_{2} b_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} - (m_{2} + c_{2}) x + (m_{1} + c_{1}) y = m_{1} c_{2} - m_{2} c_{1} . \end{matrix}

Tekintsük az

M' (- m_{1}, - m_{2})

pontot. Behelyettesítve a kapott egyenletekbe azonnal adódik, hogy

M'

mindhárom egyenesre illeszkedik, amivel a feladat állítását beláttuk.

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Jól ismert tény, hogy az

A B C

háromszög

M

magasságpontjának az

F_{A}

pontra vonatkozó

M_{A}'

tükörképe éppen

A B C

körülírt körének

A

-val átellenes pontja, vagyis az

A

csúcs

O

-ra vonatkozó tükörképe. Így a Thálesz-tétel miatt egyrészt

A A_{1} M_{A}' ∢ = 90^{\circ}

, másrészt ‐ mivel

A_{1}

illeszkedik az

A F_{A}

átmérőjű körre is ‐

A A_{1} F_{A} ∢ = 90^{\circ}

. Az eddigiekből következik, hogy az

A_{1}

M

F_{A}

és

M_{A}'

pontok mind illeszkednek az

A A_{1}

egyenesre

A_{1}

-ben állított merőlegesre.
Legyenek az

A_{1}

és

M

pontok

O

-ra vonatkozó tükörképei

A_{1}'

és

M'

. Mivel

M

illeszkedik az

A_{1} M_{A}'

egyenesre,

M'

illeszkedik

A A_{1}'

-re. Viszont ismét a Thálesz-tétel miatt

A A_{1}'

éppen az

A A_{1}

-re

A

-ban állított merőleges egyenes. Hasonlóan megmutatható, hogy

M'

illeszkedik a

B B_{1}

-re

B

-ben állított merőlegesre, valamint a

C C_{1}

-re

C

-ben állított merőlegesre, amivel az állítást beláttuk.

Megjegyzés: Szintén jól ismert tény, hogy az I. megoldásban választott koordinátarendszer esetén

M (m_{1}, m_{2})

éppen

A B C

magasságpontja, így onnan is kiolvasható, hogy a szóbanforgó egyenesek közös pontja éppen

M

tükörképe

O

-ra.