A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen . Ha , akkor és , ami nem prím. Tehát értéke legalább 35. Ha páros, akkor egy 35-nél nagyobb páros szám lesz, ami nem lehet prím. Tehát mindenképpen páratlan. Az szám 10-es maradéka szerint öt eset lehetséges. (ahol legalább 1). Ekkor , és | | Tekintsük a tagok utolsó számjegyét, ezek összege: | | Tehát az utolsó számjegy ekkor 5, vagyis osztható 5-tel. (). Ekkor és | | Vizsgáljuk ismét az utolsó számjegyeket: | | Az utolsó számjegy ekkor is 5, vagyis nem prím. (). Ekkor . Az utolsó számjegyet az előzőekhez hasonlóan megvizsgálva, 1-et kapunk eredményül, vagyis ez lehet prímszám. Például esetén , ami prímszám. (). Ekkor , és | | Az utolsó számjegyek: | | Itt is 5 az utolsó számjegy, így nem lehet prím. (). Ekkor , és | | Az utolsó számjegyek: | | Itt is 5 az utolsó számjegy. Tehát az szám végződése csak 5 lehet.
Megjegyzések. 1. Többen nem az utolsó számjegyet, vagyis a 10-es maradékot vizsgálták, hanem az 5-ös maradékot. Hasonló módon jutottak célhoz. 2. Az a tény, hogy a vizsgált kifejezés az minden páratlan, 5-tel nem osztható értékére osztható 5-tel, nem teljesen a véletlen műve. Írjuk az -et alakba. Ha az 5-tel osztva 1-et ad maradékul, akkor ez minden hatványára is igaz, másrészt ilyenkor , és ezért is osztható 5-tel. Így értéke darab 1 maradékot adó szám összegeként -et ad maradékul, amiből 4-et kivonva 5-tel osztható számot kapunk. Egyébként pedig | | és itt Fermat ,,kis'' tétele miatt osztható 5-tel, a tört nevezője pedig nem.
|
|